Determine os pontos críticos de
Passo 1
O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos de
O conteúdo principal aqui é:
– cálculo do gradiente ,
– resolução de ,
– uso da matriz Hessiana para classificar o tipo do ponto crítico (mínimo, máximo ou sela).
– cálculo do gradiente
– resolução de
– uso da matriz Hessiana para classificar o tipo do ponto crítico (mínimo, máximo ou sela).
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de
.
Para , tratamos
como constante:
Para
Para
, usamos a regra do produto em
:
Passo 3
Obtemos os pontos críticos resolvendo
Da primeira equação
vem
.
Da segunda , como
, requer
Da segunda
Substituindo
dá
.
Logo o único ponto crítico é
Logo o único ponto crítico é
Passo 4
Para classificar, montamos a matriz Hessiana
cujos elementos são
No ponto
temos
, então
O determinante da Hessiana é
e
, indicando mínimo local.
Resposta
O único ponto crítico é
, que é um mínimo local.