Determine os pontos críticos de f(x, y)=\left(x^{2}+y\right) e^{\frac{y}{2}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos de
f(x,y) = \bigl(x^{2} + y\bigr)\,e^{\frac{y}{2}}.
O conteúdo principal aqui é:
– cálculo do gradiente \nabla f=(f_x,f_y),
– resolução de \nabla f=0,
– uso da matriz Hessiana para classificar o tipo do ponto crítico (mínimo, máximo ou sela).

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f.
Para f_x, tratamos y como constante:
f_x = \pd{}{x}\Bigl(x^2+y\Bigr)\,e^{\frac{y}{2}} = 2x\,e^{\frac{y}{2}}.
Para f_y, usamos a regra do produto em (x^2+y)\,e^{\frac{y}{2}}:
f_y = \underbrace{1\cdot e^{\frac{y}{2}}}_{\pd{}{y}(x^2+y)\cdot e^{\frac{y}{2}}} + \underbrace{\bigl(x^2+y\bigr)\cdot \frac12\,e^{\frac{y}{2}}}_{(x^2+y)\pd{}{y}\,e^{\frac{y}{2}}} = e^{\frac{y}{2}}\Bigl[1 + \tfrac{x^2+y}{2}\Bigr].

Passo 3

Obtemos os pontos críticos resolvendo
f_x = 0, \quad f_y = 0.
Da primeira equação f_x=2x\,e^{\frac{y}{2}}=0 vem
\displaystyle x=0.
Da segunda f_y= e^{\frac{y}{2}}\bigl[1 + \tfrac{x^2+y}{2}\bigr]=0, como e^{y/2}>0, requer
1 + \frac{x^2+y}{2} = 0 \;\Longrightarrow\; x^2 + y + 2 = 0.
Substituindo x=0 y=-2.
Logo o único ponto crítico é
(0,-2).

Passo 4

Para classificar, montamos a matriz Hessiana H cujos elementos são
f_{xx} = \pd{}{x}(2x\,e^{\frac{y}{2}}) = 2\,e^{\frac{y}{2}}, \quad f_{xy} = \pd{}{y}(2x\,e^{\frac{y}{2}}) = x\,e^{\frac{y}{2}},
f_{yy} = \pd{}{y}\Bigl[e^{\frac{y}{2}}\bigl(1+\tfrac{x^2+y}{2}\bigr)\Bigr] = e^{\frac{y}{2}}\!\Bigl[1 + \tfrac{x^2+y}{4}\Bigr].
No ponto (0,-2) temos e^{\frac{y}{2}}=e^{-1}, então
f_{xx}(0,-2) = 2e^{-1},\quad f_{xy}(0,-2) = 0,\quad f_{yy}(0,-2) = e^{-1}\,\frac{4+0-2}{4} = \tfrac12\,e^{-1}.
O determinante da Hessiana é
D = f_{xx}\,f_{yy} - (f_{xy})^2 = \bigl(2e^{-1}\bigr)\bigl(\tfrac12e^{-1}\bigr) - 0 = e^{-2} > 0,
e f_{xx}(0,-2)=2e^{-1}>0, indicando mínimo local.

Resposta

O único ponto crítico é (0,-2), que é um mínimo local.

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