Determine os pontos críticos da funçāo e classifique-os (caso haja):
f(x, y)=e^{3 x+4 y}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de f(x,y)=e^{3x+4y} e, caso existam, classificá-los. Para isso, precisamos calcular o gradiente de f, igualá-lo ao vetor nulo e analisar o Hessiano para classificar cada ponto encontrado.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =3e^{3x+4y}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =4e^{3x+4y}.

Passo 3

Um ponto crítico ocorre quando ambas as derivadas parciais se anulam simultaneamente, isto é,
3e^{3x+4y}=0 \quad\text{e}\quad 4e^{3x+4y}=0.
Porém e^{3x+4y}>0 para todo (x,y), logo não há solução para essas equações.

Resposta

A função f(x,y)=e^{3x+4y} não possui pontos críticos em \mathbb{R}^2.

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