Determine os pontos de máximo e/ou de minimo de cada funçāo, sujeita à restriçāo.
f(x, y)=x+y ; x^{2}+y^{2}-1=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos de máximo e mínimo da função
f(x,y)=x+y
sujeita à restrição
x^{2}+y^{2}-1=0.
O conteúdo principal aqui é o método dos multiplicadores de Lagrange, pois temos uma função a ser extremada sob uma condição de contorno dada por uma curva (círculo).

Passo 2

Definimos a função de restrição
g(x,y)=x^{2}+y^{2}-1
e aplicamos a condição de Lagrange, que diz que nos extremos o gradiente de f é paralelo ao gradiente de g. Isto é, existem \lambda tais que
\nabla f(x,y)=\lambda\,\nabla g(x,y).

Passo 3

Calculamos os gradientes:
\nabla f(x,y)=(1,1),
\nabla g(x,y)=(2x,2y).
Logo, o sistema de equações de Lagrange é
(1,1)=\lambda\,(2x,2y),
além da própria restrição g(x,y)=0.

Passo 4

Das igualdade de vetores vêm as duas equações escalares
1=2\lambda x,
1=2\lambda y.
Isto implica
2\lambda x=2\lambda y\quad\Longrightarrow\quad x=y.
Substituindo na restrição x^{2}+y^{2}=1
2x^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}},
e como y=x, temos os dois candidatos
\bigl(x,y\bigr)=\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigr) \quad\text{e}\quad \Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigr).

Passo 5

Avaliaremos f em cada ponto:
em \bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr)
f=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2},
em \bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr)
f=-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}.
Como o círculo é compacto e f contínua, estes valores são precisamente o máximo e o mínimo.

Resposta

Ponto de máximo: \bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr) com f=\sqrt{2}.
Ponto de mínimo: \bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr) com f=-\sqrt{2}.

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