Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os como pontos de máximo local, pontos de mínimo local ou pontos de sela.
f(x, y)=\left(2 x-x^{2}\right)\left(2 y-y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função \;f(x,y)=(2x-x^2)(2y-y^2)\; e pede que eu determine todos os pontos críticos e os classifique como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função está definida para todos os pontos (x,y) em \mathbb{R}^2.
  • Precisamos encontrar onde o gradiente de f é zero (ou não existe), e então usar derivadas de segunda ordem para classificar cada ponto crítico.

Passo 2

Vou explicar a ideia prática para achar pontos críticos (passo a passo, como você pediu):
  • Um ponto crítico é um ponto onde o vetor gradiente \nabla f=(f_x,f_y) é igual a (0,0) ou onde as derivadas parciais não existem. Aqui as derivadas existem sempre, então procuramos \nabla f=0.
  • Como a função é produto de uma parte que depende só de x e outra só de y, é útil escrever
g(x)=2x-x^2,\qquad h(y)=2y-y^2,
de modo que
f(x,y)=g(x)\,h(y).
  • Para derivadas parciais, usamos que \frac{\partial}{\partial x}[g(x)h(y)]=g'(x)h(y) e \frac{\partial}{\partial y}[g(x)h(y)]=g(x)h'(y). Vou calcular g' e h'.

Passo 3

Calcular as derivadas de g e h e então as parciais de f:
g'(x)=2-2x,\qquad h'(y)=2-2y.
Logo as derivadas parciais são
f_x(x,y)=g'(x)h(y)=(2-2x)(2y-y^2),
f_y(x,y)=g(x)h'(y)=(2x-x^2)(2-2y).
Pontos críticos satisfazem o sistema \;f_x=0,\;f_y=0\;. Cada equação é produto de dois fatores, portanto cada uma anula-se se qualquer fator anula-se. Escrevendo as condições:
f_x=0 \Longleftrightarrow (2-2x)(2y-y^2)=0 \Longleftrightarrow x=1 \;\text{ ou }\; y=0 \;\text{ ou }\; y=2,
f_y=0 \Longleftrightarrow (2x-x^2)(2-2y)=0 \Longleftrightarrow y=1 \;\text{ ou }\; x=0 \;\text{ ou }\; x=2.
Agora combinamos as possibilidades para satisfazer as duas equações simultaneamente. Fazendo as interseções, obtemos os pontos críticos:
(1,1),\quad (0,0),\quad (0,2),\quad (2,0),\quad (2,2).

Passo 4

Agora a classificação: usamos a matriz Hessiana e o teste das derivadas de segunda ordem. Vou explicar o que é e como usar:
  • A Hessiana é a matriz das segundas derivadas parciais:
H_f(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx}(x,y) & f_{xy}(x,y) \\[4pt] f_{yx}(x,y) & f_{yy}(x,y)\end{pmatrix}.
  • O discriminante (determinante) da Hessiana é
D(x,y)=f_{xx}f_{yy}-\big(f_{xy}\big)^2.
  • Regra de classificação (teste de segunda derivada, versão para duas variáveis):
    • Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local.
    • Se D>0 e f_{xx}<0 então máximo local.
    • Se D<0 então ponto de sela.
    • Se D=0 o teste é inconclusivo (não vai ocorrer aqui nos pontos interessantes, salvo confusões).]

Passo 5

Calculo as segundas derivadas de forma geral (mostrando como se obtém): partir de f_x=(2-2x)(2y-y^2) e f_y=(2x-x^2)(2-2y) obtemos:
f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big[(2-2x)(2y-y^2)\big]=(-2)(2y-y^2)=-4y+2y^2,
f_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big[(2x-x^2)(2-2y)\big]=(-2)(2x-x^2)=-4x+2x^2,
f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big[(2-2x)(2y-y^2)\big]=(2-2x)(2-2y)=4(1-x)(1-y).
Note que f_{xy}=f_{yx} como esperado (derivadas mistas contínuas).

Passo 6

Classifico o ponto (1,1). Primeiro avalio as segundas derivadas nele:
f_{xx}(1,1)=-4\cdot1+2\cdot1^2=-4+2=-2,
f_{yy}(1,1)=-4\cdot1+2\cdot1^2=-2,
f_{xy}(1,1)=(2-2\cdot1)(2-2\cdot1)=0.
O determinante da Hessiana é
D(1,1)=(-2)\cdot(-2)-0^2=4>0.
Como D>0 e f_{xx}(1,1)=-2<0, pelo teste, (1,1) é um ponto de máximo local. (Um jeitinho de intuir: g(1)=1 e g tem máximo em x=1, idem para h; o produto atinge máximo local em (1,1).)

Passo 7

Classifico o ponto (0,0). Avaliando as segundas derivadas:
f_{xx}(0,0)=-4\cdot0+2\cdot0^2=0,
f_{yy}(0,0)=0,
f_{xy}(0,0)=(2-0)(2-0)=4.
O determinante é
D(0,0)=0\cdot0-4^2=-16<0.
Como D<0, (0,0) é um ponto de sela.

Passo 8

Classifico o ponto (2,0). Avaliações:
f_{xx}(2,0)=-4\cdot0+2\cdot0^2=0,
f_{yy}(2,0)=-4\cdot2+2\cdot2^2=-8+8=0,
f_{xy}(2,0)=(2-2\cdot2)(2-0)=(-2)\cdot2=-4.
O determinante é
D(2,0)=0\cdot0-(-4)^2=-16<0,
logo (2,0) é ponto de sela.

Passo 9

Classifico o ponto (0,2). Avaliações:
f_{xx}(0,2)=-4\cdot2+2\cdot2^2=-8+8=0,
f_{yy}(0,2)=-4\cdot0+2\cdot0^2=0,
f_{xy}(0,2)=(2-0)(2-2\cdot2)=2\cdot(-2)=-4.
Determinante:
D(0,2)=0\cdot0-(-4)^2=-16<0,
portanto (0,2) é ponto de sela.

Passo 10

Classifico o ponto (2,2). Avaliações:
f_{xx}(2,2)=-4\cdot2+2\cdot2^2=-8+8=0,
f_{yy}(2,2)= -4\cdot2+2\cdot2^2=0,
f_{xy}(2,2)=(2-4)(2-4)=(-2)(-2)=4.
Determinante:
D(2,2)=0\cdot0-4^2=-16<0,
logo (2,2) é ponto de sela.

Resposta

(1,1): máximo local
(0,0): ponto de sela
(0,2): ponto de sela
(2,0): ponto de sela
(2,2): ponto de sela

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