Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os como pontos de máximo local, pontos de mínimo local ou pontos de sela.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que eu determine todos os pontos críticos e os classifique como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função está definida para todos os pontos
em . - Precisamos encontrar onde o gradiente de
é zero (ou não existe), e então usar derivadas de segunda ordem para classificar cada ponto crítico.
Passo 2
Vou explicar a ideia prática para achar pontos críticos (passo a passo, como você pediu):
- Um ponto crítico é um ponto onde o vetor gradiente
é igual a ou onde as derivadas parciais não existem. Aqui as derivadas existem sempre, então procuramos . - Como a função é produto de uma parte que depende só de
e outra só de , é útil escrever
de modo que
- Para derivadas parciais, usamos que
e . Vou calcular e .
Passo 3
Calcular as derivadas de
e
e então as parciais de
:
Logo as derivadas parciais são
Pontos críticos satisfazem o sistema
. Cada equação é produto de dois fatores, portanto cada uma anula-se se qualquer fator anula-se. Escrevendo as condições:
Agora combinamos as possibilidades para satisfazer as duas equações simultaneamente. Fazendo as interseções, obtemos os pontos críticos:
Passo 4
Agora a classificação: usamos a matriz Hessiana e o teste das derivadas de segunda ordem. Vou explicar o que é e como usar:
- A Hessiana é a matriz das segundas derivadas parciais:
- O discriminante (determinante) da Hessiana é
- Regra de classificação (teste de segunda derivada, versão para duas variáveis):
- Se
e então mínimo local. - Se
e então máximo local. - Se
então ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo (não vai ocorrer aqui nos pontos interessantes, salvo confusões).]
- Se
Passo 5
Calculo as segundas derivadas de forma geral (mostrando como se obtém): partir de
e
obtemos:
Note que
como esperado (derivadas mistas contínuas).
Passo 6
Classifico o ponto
. Primeiro avalio as segundas derivadas nele:
O determinante da Hessiana é
Como
e
, pelo teste,
é um ponto de máximo local. (Um jeitinho de intuir:
e
tem máximo em
, idem para
; o produto atinge máximo local em
.)
Passo 7
Classifico o ponto
. Avaliando as segundas derivadas:
O determinante é
Como
,
é um ponto de sela.
Passo 8
Classifico o ponto
. Avaliações:
O determinante é
logo
é ponto de sela.
Passo 9
Classifico o ponto
. Avaliações:
Determinante:
portanto
é ponto de sela.
Passo 10
Classifico o ponto
. Avaliações:
Determinante:
logo
é ponto de sela.