Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os como pontos de máximo local, pontos de mínimo local ou pontos de sela.
Passo 1
O enunciado pede: determinar os pontos críticos da função
e classificar cada ponto crítico como ponto de máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Informações dadas: a expressão explícita de . Nada mais é fornecido.
Informações dadas: a expressão explícita de
Passo 2
O que é um ponto crítico e como vamos encontrá‑lo (explicação didática):\n
Um ponto é ponto crítico se o gradiente de
em
for o vetor nulo, ou seja, se as derivadas parciais primeiras forem zero em
. O gradiente é o par
. Então precisamos calcular as derivadas parciais de
e resolver o sistema
Um ponto
Vou calcular cada parcial explicitamente e explicar cada passo de diferenciação.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais primeiras (mostrando como se obtêm):\n
Derivando em relação a
, tratamos
como constante. As derivadas termo a termo são:
Derivando
Somando,
Derivando em relação a
, tratamos
como constante. Só o último termo depende de
:
portanto
Passo 4
Resolver o sistema das derivadas igualadas a zero:\n
Temos o sistema
Temos o sistema
Da segunda equação
obtemos duas possibilidades:
ou
. Vou analisar cada caso separadamente.
Passo 5
Caso 1:
.\n
Substituindo na primeira equação obtemos
Substituindo
Fatorizei o polinômio em
. As soluções dessa equação são
Portanto, do caso
surgem três pontos críticos:
Passo 6
Caso 2:
.\n
Substituindo na primeira equação obtemos
Substituindo
Isso implicaria
, que não tem solução real. Logo não há pontos críticos com
em
.
Concluímos que os únicos pontos críticos reais são os três encontrados no Passo 5.
Passo 7
Como classificar os pontos críticos (explicação da técnica):\n
Para classificar usamos a matriz Hessiana (matriz das segundas derivadas) e o teste das segundas derivadas em duas variáveis. A Hessiana tem entradas
Para classificar usamos a matriz Hessiana (matriz das segundas derivadas) e o teste das segundas derivadas em duas variáveis. A Hessiana
O determinante de
é
. O teste diz:
- Se
e então mínimo local. - Se
e então máximo local. - Se
então ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo (aí precisaríamos de argumentos mais finos).
Vou calcular as segundas derivadas explicitamente.
Passo 8
Calcular as segundas derivadas:\n
A partir das primeiras derivadas já obtidas,
A partir das primeiras derivadas já obtidas,
derivando novamente obtemos
Portanto a Hessiana é
e
Passo 9
Avaliar a Hessiana em
e classificar:\n
Para temos
Para
Logo
Como
e
, pelo teste das segundas derivadas
é um ponto de máximo local.
Passo 10
Avaliar a Hessiana em
e classificar:\n
Para e
temos
, então
Para
O determinante vale
Como
, segue
. Pelo teste das segundas derivadas, se
temos ponto de sela. Portanto
é um ponto de sela.
Passo 11
Avaliar a Hessiana em
e classificar:\n
Aqui também, logo
novamente, e
Aqui
O determinante é
Como
,
também é ponto de sela.
Passo 12
Resumo final (encorajamento curto): encontrámos todos os pontos críticos e os classificámos usando o gradiente e o teste das segundas derivadas. Você conseguiu! Se quiser, a gente pode desenhar um esboço do comportamento perto desses pontos para visualizar melhor.