Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os como pontos de máximo local, pontos de mínimo local ou pontos de sela.
f(x, y)=x^{4}-x^{2}+(x-1) y^{2}

Passo 1

O enunciado pede: determinar os pontos críticos da função
f(x,y)=x^{4}-x^{2}+(x-1)y^{2}
e classificar cada ponto crítico como ponto de máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Informações dadas: a expressão explícita de f(x,y). Nada mais é fornecido.

Passo 2

O que é um ponto crítico e como vamos encontrá‑lo (explicação didática):\n
Um ponto (x_0,y_0) é ponto crítico se o gradiente de f em (x_0,y_0) for o vetor nulo, ou seja, se as derivadas parciais primeiras forem zero em (x_0,y_0). O gradiente é o par \big(\partial f/\partial x,\;\partial f/\partial y\big). Então precisamos calcular as derivadas parciais de f e resolver o sistema
\frac{\partial f}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=0.
Vou calcular cada parcial explicitamente e explicar cada passo de diferenciação.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais primeiras (mostrando como se obtêm):\n
Derivando f(x,y)=x^{4}-x^{2}+(x-1)y^{2} em relação a x, tratamos y como constante. As derivadas termo a termo são:
\frac{\partial}{\partial x}(x^{4})=4x^{3},\qquad \frac{\partial}{\partial x}(-x^{2})=-2x,\qquad \frac{\partial}{\partial x}\big((x-1)y^{2}\big)=y^{2}.
Somando,
\frac{\partial f}{\partial x}=4x^{3}-2x+y^{2}.
Derivando em relação a y, tratamos x como constante. Só o último termo depende de y:
\frac{\partial}{\partial y}\big((x-1)y^{2}\big)=2(x-1)y,
portanto
\frac{\partial f}{\partial y}=2(x-1)y.

Passo 4

Resolver o sistema das derivadas igualadas a zero:\n
Temos o sistema
4x^{3}-2x+y^{2}=0,\qquad 2(x-1)y=0.
Da segunda equação 2(x-1)y=0 obtemos duas possibilidades: y=0 ou x=1. Vou analisar cada caso separadamente.

Passo 5

Caso 1: y=0.\n
Substituindo y=0 na primeira equação obtemos
4x^{3}-2x+0=0 \quad\Longrightarrow\quad 2x(2x^{2}-1)=0.
Fatorizei o polinômio em x. As soluções dessa equação são
x=0,\qquad 2x^{2}-1=0\\ \Rightarrow\\ x^{2}=\tfrac{1}{2}\\ \Rightarrow\\ x=\pm \tfrac{1}{\sqrt{2}}.
Portanto, do caso y=0 surgem três pontos críticos:
(0,0),\qquad \Big(\tfrac{1}{\sqrt{2}},0\Big),\qquad \Big(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},0\Big).

Passo 6

Caso 2: x=1.\n
Substituindo x=1 na primeira equação obtemos
4\cdot1^{3}-2\cdot1+y^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad 4-2+y^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad 2+y^{2}=0.
Isso implicaria y^{2}=-2, que não tem solução real. Logo não há pontos críticos com x=1 em \mathbb{R}^{2}.
Concluímos que os únicos pontos críticos reais são os três encontrados no Passo 5.

Passo 7

Como classificar os pontos críticos (explicação da técnica):\n
Para classificar usamos a matriz Hessiana (matriz das segundas derivadas) e o teste das segundas derivadas em duas variáveis. A Hessiana H tem entradas
f_{xx}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}},\qquad f_{yy}=\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}},\qquad f_{xy}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}.
O determinante de H é D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}. O teste diz:
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então máximo local.
  • Se D<0 então ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo (aí precisaríamos de argumentos mais finos).
Vou calcular as segundas derivadas explicitamente.

Passo 8

Calcular as segundas derivadas:\n
A partir das primeiras derivadas já obtidas,
\frac{\partial f}{\partial x}=4x^{3}-2x+y^{2},\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=2(x-1)y,
derivando novamente obtemos
f_{xx}=12x^{2}-2,
f_{yy}=2(x-1),
f_{xy}= \frac{\partial}{\partial y}(4x^{3}-2x+y^{2})=2y.
Portanto a Hessiana é
H=\begin{pmatrix}12x^{2}-2 & 2y \\[4pt] 2y & 2(x-1)\end{pmatrix},
e
D=(12x^{2}-2)\cdot 2(x-1)-(2y)^{2}.]

Passo 9

Avaliar a Hessiana em (0,0) e classificar:\n
Para (x,y)=(0,0) temos
f_{xx}(0,0)=12\cdot0^{2}-2=-2,
f_{yy}(0,0)=2(0-1)=-2,
f_{xy}(0,0)=2\cdot0=0.
Logo
D(0,0)=(-2)\cdot(-2)-0^{2}=4>0.
Como D>0 e f_{xx}(0,0)=-2<0, pelo teste das segundas derivadas (0,0) é um ponto de máximo local.

Passo 10

Avaliar a Hessiana em \big(\tfrac{1}{\sqrt{2}},0\big) e classificar:\n
Para x=\tfrac{1}{\sqrt{2}} e y=0 temos x^{2}=\tfrac{1}{2}, então
f_{xx}\Big(\tfrac{1}{\sqrt{2}},0\Big)=12\cdot\tfrac{1}{2}-2=6-2=4,
f_{yy}\Big(\tfrac{1}{\sqrt{2}},0\Big)=2\Big(\tfrac{1}{\sqrt{2}}-1\Big),
f_{xy}\Big(\tfrac{1}{\sqrt{2}},0\Big)=0.
O determinante vale
D\Big(\tfrac{1}{\sqrt{2}},0\Big)=4\cdot 2\Big(\tfrac{1}{\sqrt{2}}-1\Big)=8\Big(\tfrac{1}{\sqrt{2}}-1\Big).
Como \tfrac{1}{\sqrt{2}}-1<0, segue D\big(\tfrac{1}{\sqrt{2}},0\big)<0. Pelo teste das segundas derivadas, se D<0 temos ponto de sela. Portanto \big(\tfrac{1}{\sqrt{2}},0\big) é um ponto de sela.

Passo 11

Avaliar a Hessiana em \big(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},0\big) e classificar:\n
Aqui x^{2}=\tfrac{1}{2} também, logo f_{xx}=4 novamente, e
f_{yy}\Big(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},0\Big)=2\Big(-\tfrac{1}{\sqrt{2}}-1\Big)=-2\Big(\tfrac{1}{\sqrt{2}}+1\Big),
f_{xy}\Big(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},0\Big)=0.
O determinante é
D\Big(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},0\Big)=4\cdot\bigg(-2\Big(\tfrac{1}{\sqrt{2}}+1\Big)\bigg)=-8\Big(\tfrac{1}{\sqrt{2}}+1\Big)<0.
Como D<0, \big(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},0\big) também é ponto de sela.

Passo 12

Resumo final (encorajamento curto): encontrámos todos os pontos críticos e os classificámos usando o gradiente e o teste das segundas derivadas. Você conseguiu! Se quiser, a gente pode desenhar um esboço do comportamento perto desses pontos para visualizar melhor.

Resposta

(0,0) — máximo local
\big(\tfrac{1}{\sqrt{2}},0\big) — ponto de sela
\big(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},0\big) — ponto de sela

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