Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os como pontos de máximo local, pontos de mínimo local ou pontos de sela.
f(x, y)=x^{4}+y^{4}-4 x^{2}-8 x y-4 y^{2}

Passo 1

O que o problema pede: encontrar os pontos críticos da função
f(x,y)=x^{4}+y^{4}-4x^{2}-8xy-4y^{2}
e classificar cada ponto crítico como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função f está definida em \mathbb{R}^2.
  • Precisamos achar os pontos em que o gradiente de f é nulo (esses são os candidatos a pontos críticos).
  • Depois disso, devemos classificar cada ponto crítico usando a derivada segunda (Hessiana) ou outro teste apropriado.
A resolução começa a partir da expressão de f dada acima.

Passo 2

Conceito necessário 1 — gradiente e pontos críticos (aula rápida e prática).
  • O gradiente de f, denotado por \nabla f, é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y}\right).
  • Pontos críticos são soluções do sistema
\frac{\partial f}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=0.
Vou calcular as derivadas parciais passo a passo: sempre trate cada variável como independente enquanto deriva.

Passo 3

Calcular \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y}.
Derivando termo a termo:
  • Para x^{4}, a derivada em relação a x é 4x^{3}.
  • Para -4x^{2}, a derivada é -8x.
  • Para -8xy, visto y como constante ao derivar em x, a derivada é -8y.
    Os termos em y isolados têm derivada zero em relação a x.
Logo
\frac{\partial f}{\partial x}=4x^{3}-8x-8y.
Analogamente, derivando em relação a y:
  • y^{4} 4y^{3},
  • -4y^{2} -8y,
  • -8xy visto x como constante dá -8x.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}=4y^{3}-8y-8x.

Passo 4

Formar e resolver o sistema \nabla f=0\): \[\begin{cases} 4x^{3}-8x-8y=0,\\[4pt] 4y^{3}-8y-8x=0. \end{cases}
Dividindo cada equação por (4] (para simplificar):
\begin{cases} x^{3}-2x-2y=0,\\[4pt] y^{3}-2y-2x=0. \end{cases}
Vou subtrair a segunda equação da primeira para aproveitar simplificações:
(x^{3}-2x-2y) - (y^{3}-2y-2x) = 0 \quad\Rightarrow\quad x^{3}-y^{3}=0.
Isto implica
x^{3}=y^{3}\quad\Rightarrow\quad x=y
(para números reais, igualdade de cubos implica igualdade dos números).
Substituindo y=x em uma das equações simplificadas:
x^{3}-2x-2x=0 \quad\Rightarrow\quad x^{3}-4x=0.
Fatora-se:
x(x^{2}-4)=0 \quad\Rightarrow\quad x=0,\; x=2,\; x=-2.
Como y=x, os pontos críticos são:
(0,0),\quad (2,2),\quad (-2,-2).]

Passo 5

Conceito necessário 2 — Hessiana e teste das segundas derivadas (aula prática).
  • A matriz Hessiana de f é a matriz das derivadas segundas:
H_f(x,y)=\begin{pmatrix} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}\\[6pt] \frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \end{pmatrix}.
  • Para funções de duas variáveis, define-se o determinante
D(x,y)=\det H_f(x,y)=f_{xx}f_{yy}-\big(f_{xy}\big)^{2}.
  • Regra prática (teste das segundas derivadas):
    • Se D>0 e f_{xx}>0 então ponto crítico é mínimo local.
    • Se D>0 e f_{xx}<0 então ponto crítico é máximo local.
    • Se D<0 então é ponto de sela.
    • Se D=0 o teste é inconclusivo (é preciso usar análise mais refinada, por exemplo estudar curvas ou termos de ordem superior).
Vou calcular as derivadas segundas.]

Passo 6

Calcular as derivadas segundas de f:
  • Já temos \frac{\partial f}{\partial x}=4x^{3}-8x-8y. Derivando novamente em x:
f_{xx}= \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=12x^{2}-8.
  • Similarmente,
f_{yy}=12y^{2}-8.
  • A derivada mista (de \frac{\partial f}{\partial x} em relação a y, ou de \frac{\partial f}{\partial y} em relação a x) é constante:
f_{xy}=f_{yx}=-8.
Agora avalio H_f e D em cada ponto crítico.

Passo 7

Avaliar a Hessiana em (0,0):
f_{xx}(0,0)=12\cdot 0^{2}-8=-8,\qquad f_{yy}(0,0)=-8,\qquad f_{xy}(0,0)=-8.
Determinante
D(0,0)=(-8)(-8)-(-8)^{2}=64-64=0.
Como D=0, o teste das segundas derivadas é inconclusivo aqui. Preciso analisar orden superior ou observar comportamento em direções diferentes — isto é, verificar se perto de (0,0) a função toma valores positivos e negativos quando seguimos direções diferentes. Vou fazer isso.

Passo 8

Análise de (0,0) por restrição a retas (método prático quando D=0).
  1. Restrinjo \,f à reta y=x. Substituo y=x na função:
f(x,x)=x^{4}+x^{4}-4x^{2}-8x\cdot x-4x^{2}=2x^{4}-16x^{2}=2x^{2}(x^{2}-8).
Para x pequeno (próximo a 0), o termo dominante é -16x^{2}, então f(x,x) é negativo para pequenos x\neq0. Ou seja, ao mover-se pela direção y=x saindo de (0,0) a função diminui (valores negativos).
  1. Restrinjo \,f à reta y=-x. Substituo y=-x:
f(x,-x)=x^{4}+x^{4}-4x^{2}-8x(-x)-4x^{2}=2x^{4}-4x^{2}+8x^{2}-4x^{2}=2x^{4}.
Para x pequeno e não nulo, 2x^{4}>0. Ou seja, ao mover-se pela direção y=-x saindo de (0,0) a função aumenta (valores positivos).
Como em direções diferentes a função toma sinais opostos, (0,0) é ponto de sela.

Passo 9

Avaliar a Hessiana em (2,2) e (-2,-2).
Para (2,2):
f_{xx}(2,2)=12\cdot 2^{2}-8=12\cdot4-8=48-8=40,
f_{yy}(2,2)=40,\qquad f_{xy}=-8.
Determinante
D(2,2)=40\cdot 40 - (-8)^{2}=1600-64=1536>0.
Como D>0 e f_{xx}(2,2)=40>0, pelo teste temos que (2,2) é um mínimo local.
Para (-2,-2):
f_{xx}(-2,-2)=12\cdot(-2)^{2}-8=40,
f_{yy}(-2,-2)=40,\qquad f_{xy}=-8,
mesmo determinante
D(-2,-2)=1536>0,
e f_{xx}(-2,-2)=40>0. Logo (-2,-2) também é mínimo local.

Passo 10

Resumo interpretativo (um pouco de incentivo):
  • Encontramos três pontos críticos de forma direta resolvendo as derivadas parciais.
  • Um deles, (0,0), exigiu análise adicional porque o determinante da Hessiana anulou; mostrar comportamentos em direções diferentes (positivo em uma direção e negativo em outra) é uma maneira prática e confiável de concluir que é ponto de sela.
  • Os outros dois deram D>0 com f_{xx}>0, o que garante mínimos locais.

Resposta

(0,0): ponto de sela
(2,2): mínimo local
(-2,-2): mínimo local

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