Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os como pontos de máximo local, pontos de mínimo local ou pontos de sela. f(x, y)=x^{4}+y^{4}-4 x^{2}-8 x y-4 y^{2}
Passo 1
O que o problema pede: encontrar os pontos críticos da função
f(x,y)=x^{4}+y^{4}-4x^{2}-8xy-4y^{2}
e classificar cada ponto crítico como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Informações relevantes que o enunciado dá:
A função f está definida em \mathbb{R}^2.
Precisamos achar os pontos em que o gradiente de f é nulo (esses são os candidatos a pontos críticos).
Depois disso, devemos classificar cada ponto crítico usando a derivada segunda (Hessiana) ou outro teste apropriado.
A resolução começa a partir da expressão de f dada acima.
Passo 2
Conceito necessário 1 — gradiente e pontos críticos (aula rápida e prática).
O gradiente de f, denotado por \nabla f, é o vetor das derivadas parciais:
Como D=0, o teste das segundas derivadas é inconclusivo aqui. Preciso analisar orden superior ou observar comportamento em direções diferentes — isto é, verificar se perto de (0,0) a função toma valores positivos e negativos quando seguimos direções diferentes. Vou fazer isso.
Passo 8
Análise de (0,0) por restrição a retas (método prático quando D=0).
Restrinjo \,f à reta y=x. Substituo y=x na função:
Para x pequeno (próximo a 0), o termo dominante é -16x^{2}, então f(x,x) é negativo para pequenos x\neq0. Ou seja, ao mover-se pela direção y=x saindo de (0,0) a função diminui (valores negativos).
Para x pequeno e não nulo, 2x^{4}>0. Ou seja, ao mover-se pela direção y=-x saindo de (0,0) a função aumenta (valores positivos).
Como em direções diferentes a função toma sinais opostos, (0,0) é ponto de sela.
Passo 9
Avaliar a Hessiana em (2,2) e (-2,-2).
Para (2,2):
f_{xx}(2,2)=12\cdot 2^{2}-8=12\cdot4-8=48-8=40,
f_{yy}(2,2)=40,\qquad f_{xy}=-8.
Determinante
D(2,2)=40\cdot 40 - (-8)^{2}=1600-64=1536>0.
Como D>0 e f_{xx}(2,2)=40>0, pelo teste temos que (2,2) é um mínimo local.
Para (-2,-2):
f_{xx}(-2,-2)=12\cdot(-2)^{2}-8=40,
f_{yy}(-2,-2)=40,\qquad f_{xy}=-8,
mesmo determinante
D(-2,-2)=1536>0,
e f_{xx}(-2,-2)=40>0. Logo (-2,-2) também é mínimo local.
Passo 10
Resumo interpretativo (um pouco de incentivo):
Encontramos três pontos críticos de forma direta resolvendo as derivadas parciais.
Um deles, (0,0), exigiu análise adicional porque o determinante da Hessiana anulou; mostrar comportamentos em direções diferentes (positivo em uma direção e negativo em outra) é uma maneira prática e confiável de concluir que é ponto de sela.
Os outros dois deram D>0 com f_{xx}>0, o que garante mínimos locais.
Resposta
(0,0): ponto de sela (2,2): mínimo local (-2,-2): mínimo local