Se a volatilidade relativa de uma mistura binária é constante para uma determinada pressão, qual a equação que devemos usar para calcular a composição de equilíbrio entre as fases, líquida e vapor?

Passo 1

O enunciado diz: temos uma mistura binária (dois componentes) à pressão fixa e a volatilidade relativa é constante, igual a \alpha. A pergunta é: qual equação devemos usar para calcular a composição de equilíbrio entre as fases líquida e vapor (ou seja, a relação entre a fração molar do componente mais volátil na fase líquida e na fase vapor). Informações relevantes dadas: mistura binária, pressão fixa, volatilidade relativa constante \alpha. O que se pede: a equação que relaciona a composição líquida e a composição vapor em equilíbrio.

Passo 2

Vamos definir as variáveis e os conceitos que vamos usar (com calma, passo a passo):
  • Seja x a fração molar do componente mais volátil na fase líquida. Isto é, x = x_1.
  • Seja y a fração molar do mesmo componente na fase vapor. Isto é, y = y_1.
  • Para cada componente i definimos o coeficiente de equilíbrio (constante de distribuição) K_i como
K_i=\frac{y_i}{x_i}.
Isto significa: y_i = K_i x_i. É uma definição que aparece direto da condição de equilíbrio entre vapor e líquido em termos de razões de frações molares.
  • A volatilidade relativa \alpha entre os dois componentes (1 = mais volátil, 2 = menos volátil) é definida como
\alpha=\frac{K_1}{K_2}.
Em palavras: \alpha diz quantas vezes o componente 1 é mais “fácil” de ir para a fase vapor do que o componente 2. O enunciado diz que essa \alpha é constante (independente de x para a pressão dada), então podemos usar essa relação fixa.

Passo 3

Agora montamos as equações que unem x e y usando que a mistura é binária:
  • Temos x_1=x e x_2=1-x.
  • Da definição de K_i:
y_1=K_1 x,\qquad y_2=K_2(1-x).
  • Como as frações molares na fase vapor somam 1,
y_1+y_2=1.
Substituindo:
K_1 x + K_2(1-x)=1.

Passo 4

Usamos agora a definição \alpha=K_1/K_2. Escrevendo K_1=\alpha K_2 e substituindo na equação do passo anterior:
\alpha K_2 x + K_2(1-x)=1.
Colocamos K_2 em evidência:
K_2\bigl(\alpha x + (1-x)\bigr)=1.
Isolando K_2 obtemos
K_2=\frac{1}{\alpha x + (1-x)}.
Podemos simplificar o denominador escrevendo \alpha x+(1-x)=1+(\alpha-1)x. Assim
K_2=\frac{1}{1+(\alpha-1)x}.

Passo 5

Agora obtemos y (que é y_1) em função de x. Lembrando y_1=K_1 x=\alpha K_2 x, substituímos K_2 do passo anterior:
y=\alpha\cdot\frac{1}{1+(\alpha-1)x}\cdot x.
Colocando numa forma final mais limpa:
y=\frac{\alpha x}{1+(\alpha-1)x}.
Pronto — essa é a relação direta que dá a composição na fase vapor y a partir da composição líquida x quando \alpha é constante.

Passo 6

Para completar (muito útil na prova): se você precisar da inversa, isto é, calcular x dado y, basta resolver a equação acima para x. Fazendo isso obtemos
x=\frac{y}{\alpha - y(\alpha-1)}.
Ambas as formas são práticas: a primeira \,y(x)\, é usada quando se conhece a composição líquida e quer o vapor; a segunda \,x(y)\, quando se conhece o vapor e quer o líquido.

Passo 7

Pequeno exemplo numérico para fixar (só pra você ver o uso): se \alpha=2 e x=0,40 (usei vírgula para decimal),
y=\frac{2\cdot 0,40}{1+(2-1)\cdot 0,40}=\frac{0,80}{1,40}=0,571\text{ (aprox.)}.
Isso mostra a intuição: y é maior que x porque o componente é mais volátil ( \alpha>1).
Dica de prova: memorize a forma
y=\frac{\alpha x}{1+(\alpha-1)x}
e a inversa; elas aparecem direto em questões de equilíbrio com volatilidade relativa constante. Você consegue!

Resposta

y=\frac{\alpha x}{1+(\alpha-1)x}
x=\frac{y}{\alpha - y(\alpha-1)}

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