Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os como pontos de máximo local, pontos de mínimo local ou pontos de sela.
8. Considere a função
, onde
são constantes, e suponha que
seja um ponto crítico de
.
a) Mostre que a função
tem gradiente nulo em todo
e, portanto, é constante. Conclua que
para todo
.
b) Fixe um vetor unitário
e defina
. Use o item anterior para mostrar que
. Conclua que o gráfico de
é uma parábola com vértice em
ou uma reta horizontal.
c) Mostre que se (
) é ponto de mínimo local de
, então (
) é ponto de mínimo global.
8. Considere a função
a) Mostre que a função
b) Fixe um vetor unitário
c) Mostre que se (
Passo 1
O enunciado fornece a função
com constantes
, e supõe que
é um ponto crítico de
. As perguntas são:
- (a) Mostrar que a função
tem gradiente nulo em todo
e, portanto, é constante; deduzir então a identidade pedida para
.
2. (b) Para um vetor unitário definir
e mostrar que
2. (b) Para um vetor unitário
concluindo sobre a forma do gráfico de
.
3. (c) Provar que se é ponto de mínimo local de
, então é mínimo global.
3. (c) Provar que se
Informações relevantes dadas:
é ponto crítico, ou seja as derivadas parciais de
em
são nulas:
Passo 2
Explicação sobre gradiente e derivadas parciais (mini-aula rápida): o gradiente de uma função
é o vetor
Um ponto é crítico quando esse vetor vale
nesse ponto. Para polinômios quadráticos como o nosso, as derivadas parciais são fáceis de calcular usando regras usuais (derivada de
é
, de
em relação a
é
, etc.). Vamos calcular as derivadas de
:
No ponto crítico
temos, portanto,
Isso nos dará relações úteis em breve.
Passo 3
Vamos calcular agora as derivadas parciais de
. Lembre-se que derivada de
em relação a
é
, e derivada de
em relação a
é
. Então:
Substituindo a expressão de
obtemos
Ao simplificar os termos em
e
cancelam e sobra apenas termos que envolvem
:
Mas das equações do ponto crítico vimos que
. Logo
Passo 4
De forma análoga calculamos a derivada em relação a
. Derivada de
em relação a
é
e de
é
. Assim
Substituindo
e simplificando obtemos
Novamente, pelo fato de
ser crítico temos
, portanto
Passo 5
Concluímos que
para todo
. Mini-aula rápida sobre por que isso implica que
é constante: se todas as derivadas parciais de uma função contínua existirem e forem zero em um conjunto conexo (aqui
), a função não varia ao mover-se em qualquer direção. Formalmente, fixe um ponto
e mova-se primeiro em
e depois em
; as integrais das derivadas parciais dão a variação de
e como elas são nulas a variação é zero. Logo
é constante em
.
A constante é
. Mas
porque os termos quadráticos centrados em
desaparecem aí. Portanto, para todo
vale
isto é
Isto resolve o item (a).
Passo 6
Item (b): definimos o traço em uma direção unitária
por
Usando a identidade do Passo 5 substituímos
e
. Assim
Fatorando
obtemos a forma pedida:
Agora uma observação geométrica: essa é uma função quadrática em
sem termo linear, isto é, da forma
com
e
. Se
isto é uma parábola com vértice em
(porque não há termo linear), e o sinal de
decide se abre para cima (
) ou para baixo (
). Se
então
é uma reta horizontal (na verdade uma constante).
Passo 7
Item (c): mostre que mínimo local implica mínimo global. Ideia e detalhe didático: suponha que
seja mínimo local de
. Isso significa que existe uma vizinhança em que para todo ponto
nessa vizinhança vale
. Pegue qualquer direção unitária
. A função unidimensional
do Passo 6 tem
como ponto de mínimo local (pois movendo-se um pouco na direção
a função não diminui). Para uma função da forma
ter
como mínimo local é necessário e suficiente que
. Portanto, para todo vetor unitário
vale
Passo 8
Agora use essa desigualdade para qualquer ponto arbitrário
. Se
a desigualdade
é trivial. Caso contrário, escreva o vetor
na forma
onde
e
é unitário. Pela fórmula do Passo 6 com
temos
Como
temos
, logo
para todo
. Isso mostra que
não é apenas mínimo local, é mínimo global. Observação: se para alguma direção
então
é constante ao longo da reta nessa direção e assume o mesmo valor mínimo em todos os pontos dessa reta; em todo caso não existe ponto fora do nível mínimo com valor menor.
Resposta
(a)
(b)
O gráfico de
é uma parábola com vértice em
quando
, e é uma reta horizontal (constante) quando essa quantidade é zero.
(c) Se
é ponto de mínimo local então é ponto de mínimo global de
.