Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os como pontos de máximo local, pontos de mínimo local ou pontos de sela.
Considere a função
. O objetivo deste exercício é mostrar que
é ponto de mínimo local de
em cada direção do plano, mas não é ponto de mínimo local de
.
a) Fixe um vetor unitário
e defina
. Mostre que
é ponto de mínimo local de
.
b) Estude
ao longo da curva
. Conclua que
é um ponto de sela de $f.
Considere a função
a) Fixe um vetor unitário
b) Estude
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas principais:
- (a) Para um vetor unitário
em definir e mostrar que é ponto de mínimo local de . - (b) Estudar
ao longo da curva e concluir que é ponto de sela de .
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão explícita de
. - A definição de
unitário (logo ). - A curva
dada. - Objetivo final: mostrar que, embora em cada direção (restrição em retas pelo parâmetro
) o ponto origem seja mínimo local, globalmente não é mínimo — na verdade é ponto de sela.
Passo 2
Primeiro vamos achar os pontos críticos de
(isto ajuda a situar
no panorama da função). Para isso precisamos das derivadas parciais.
Expandindo
fica mais fácil calcular:
Agora calculamos as derivadas parciais:
Pontos críticos são soluções do sistema
, isto é:
Da segunda equação obtemos
Substituindo na primeira:
logo
. Com
a segunda equação dá
. Portanto o único ponto crítico é
Passo 3
Vamos ver o teste das segundas derivadas (Hessiano) em
e por que ele é inconclusivo — isso motiva os itens (a) e (b).
Derivadas segundas gerais:
Avaliar em
dá o Hessiano
O determinante do Hessiano é
, então o teste quadrático padrão é inconclusivo (não decide se é mínimo, máximo ou sela). Por isso precisamos analisar restrições unidimensionais (direções) e curvas — exatamente o que os itens (a) e (b) pedem.]
Passo 4
Parte (a). Definimos
para
unitário. Vamos calcular
explicitamente.
Substituindo
em
obtemos
Fatorando
:
Note que
. A ideia: para
pequeno a quantidade entre parênteses é próxima de
. Como
, temos duas situações a considerar separadamente para concluir que
perto de
.
Passo 5
Análise detalhada das duas situações para
:
- Caso
. Então . A função contínua
satisfaz
. Pela continuidade existe
tal que para
temos
. Assim, para
e
,
o que mostra que
é mínimo local de
nesse caso (valor mínimo
).
- Caso
. Como é unitário, isso força . Substituindo em :
Temos
e
para
pequeno. Logo
também é mínimo local aqui.
Portanto em qualquer direção unitária
,
é ponto de mínimo local de
. Em palavras: a restrição de
a qualquer reta que passe pela origem tem mínimo local na origem.
Passo 6
Interpretando didaticamente o que fizemos no item (a): para testar se a origem é mínimo numa direção específica, substituímos
e estudamos uma função unidimensional
. Mostramos que o termo dominante em
perto de
é
(ou, no caso especial
, o termo dominante é
), ambos não-negativos, o que garante mínimo local para
.
Isto não prova que
seja mínimo em
, apenas que é mínimo ao restringir a qualquer reta que passe por
.
Passo 7
Parte (b). Agora analisamos
ao longo da curva fornecida
. Substituímos na forma factorada original:
Calcule cada fator:
Multiplicando:
Para todo
suficientemente pequeno temos
. Em particular, arbitrariamente perto da origem existem pontos onde
assume valores negativos.
Passo 8
Concluir a classificação de
:
- Do Passo 5 sabemos que, ao longo de qualquer reta que passa pela origem,
tem mínimo local na origem (as restrições às retas têm valor próximo a ). - Do Passo 7 vemos que existe uma curva (a parábola
) ao redor da origem ao longo da qual toma valores negativos arbitrariamente próximos de .
Esses dois fatos juntos implicam que
não é ponto de mínimo local de
no plano (se fosse mínimo local, haveria um disco em que
); contudo existem direções (não-retais) onde
é negativo perto da origem. Portanto
não é mínimo nem máximo — é um ponto de sela.
Resposta
a) Para todo vetor unitário
,
é ponto de mínimo local de
.
b) é ponto de sela de
.
b)