Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os como pontos de máximo local, pontos de mínimo local ou pontos de sela.
Considere a função f(x, y)=\left(y-x^{2}\right)\left(y-2 x^{2}\right). O objetivo deste exercício é mostrar que (0,0) é ponto de mínimo local de f em cada direção do plano, mas não é ponto de mínimo local de f.
a) Fixe um vetor unitário \vec{v}=\left(v_{1}, v_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} e defina g(t)=f\left(t v_{1}, t v_{2}\right). Mostre que t=0 é ponto de mínimo local de g.
b) Estude f ao longo da curva \gamma(t)=\left(t, \frac{3 t^{2}}{2}\right). Conclua que (0,0) é um ponto de sela de $f.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\bigl(y-x^{2}\bigr)\bigl(y-2x^{2}\bigr)
e pede duas coisas principais:
  • (a) Para um vetor unitário \vec{v}=(v_{1},v_{2}) em \mathbb{R}^{2} definir g(t)=f(tv_{1},tv_{2}) e mostrar que t=0 é ponto de mínimo local de g.
  • (b) Estudar f ao longo da curva \gamma(t)=\bigl(t,\tfrac{3t^{2}}{2}\bigr) e concluir que (0,0) é ponto de sela de f.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita de f.
  • A definição de \vec{v}=(v_{1},v_{2}) unitário (logo v_{1}^{2}+v_{2}^{2}=1).
  • A curva \gamma(t) dada.
  • Objetivo final: mostrar que, embora em cada direção (restrição em retas pelo parâmetro t) o ponto origem seja mínimo local, globalmente (0,0) não é mínimo — na verdade é ponto de sela.

Passo 2

Primeiro vamos achar os pontos críticos de f (isto ajuda a situar (0,0) no panorama da função). Para isso precisamos das derivadas parciais.
Expandindo f fica mais fácil calcular:
f(x,y)=y^{2}-3x^{2}y+2x^{4}.
Agora calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}= -6xy+8x^{3}=2x\bigl(-3y+4x^{2}\bigr),
\frac{\partial f}{\partial y}=2y-3x^{2}.
Pontos críticos são soluções do sistema \nabla f=0, isto é:
2x\bigl(-3y+4x^{2}\bigr)=0,\qquad 2y-3x^{2}=0.
Da segunda equação obtemos
y=\frac{3}{2}x^{2}.
Substituindo na primeira:
2x\bigl(-3\cdot \tfrac{3}{2}x^{2}+4x^{2}\bigr)=2x\bigl(-\tfrac{9}{2}x^{2}+4x^{2}\bigr)=2x\bigl(-\tfrac{1}{2}x^{2}\bigr)=-x^{3}=0,
logo x=0. Com x=0 a segunda equação dá y=0. Portanto o único ponto crítico é
(0,0).

Passo 3

Vamos ver o teste das segundas derivadas (Hessiano) em (0,0) e por que ele é inconclusivo — isso motiva os itens (a) e (b).
Derivadas segundas gerais:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x(-3y+4x^{2})\bigr)=-6y+24x^{2},
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x(-3y+4x^{2})\bigr)=-6x,
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(2y-3x^{2})=2.
Avaliar em (0,0) dá o Hessiano
H(0,0)=\begin{pmatrix}f_{xx}(0,0) & f_{xy}(0,0)\\[4pt] f_{xy}(0,0) & f_{yy}(0,0)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}.
O determinante do Hessiano é 0, então o teste quadrático padrão é inconclusivo (não decide se é mínimo, máximo ou sela). Por isso precisamos analisar restrições unidimensionais (direções) e curvas — exatamente o que os itens (a) e (b) pedem.]

Passo 4

Parte (a). Definimos g(t)=f(tv_{1},tv_{2}) para \vec{v}=(v_{1},v_{2}) unitário. Vamos calcular g(t) explicitamente.
Substituindo (x,y)=(tv_{1},tv_{2}) em f(x,y)=y^{2}-3x^{2}y+2x^{4} obtemos
g(t)=t^{2}v_{2}^{2}-3t^{3}v_{1}^{2}v_{2}+2t^{4}v_{1}^{4}.
Fatorando t^{2}:
g(t)=t^{2}\Bigl(v_{2}^{2}-3t v_{1}^{2}v_{2}+2t^{2}v_{1}^{4}\Bigr).
Note que g(0)=0. A ideia: para t pequeno a quantidade entre parênteses é próxima de v_{2}^{2}. Como v_{2}^{2}\ge 0, temos duas situações a considerar separadamente para concluir que g(t)\ge 0 perto de t=0.

Passo 5

Análise detalhada das duas situações para v_{2}:
  • Caso v_{2}\neq 0. Então v_{2}^{2}>0. A função contínua
h(t):=v_{2}^{2}-3t v_{1}^{2}v_{2}+2t^{2}v_{1}^{4}
satisfaz h(0)=v_{2}^{2}>0. Pela continuidade existe \delta>0 tal que para |t|<\delta temos h(t)>0. Assim, para |t|<\delta e t\neq 0,
g(t)=t^{2}h(t)>0,
o que mostra que t=0 é mínimo local de g nesse caso (valor mínimo g(0)=0).
  • Caso v_{2}=0. Como \vec v é unitário, isso força v_{1}=\pm 1. Substituindo em g:
g(t)=t^{2}\bigl(0-3t(\pm1)^{2}\cdot 0+2t^{2}(\pm1)^{4}\bigr)=2t^{4}.
Temos g(t)=2t^{4}\ge 0 e g(t)>0 para t\neq 0 pequeno. Logo t=0 também é mínimo local aqui.
Portanto em qualquer direção unitária \vec v, t=0 é ponto de mínimo local de g. Em palavras: a restrição de f a qualquer reta que passe pela origem tem mínimo local na origem.

Passo 6

Interpretando didaticamente o que fizemos no item (a): para testar se a origem é mínimo numa direção específica, substituímos (x,y)=t\vec v e estudamos uma função unidimensional g(t). Mostramos que o termo dominante em g(t) perto de t=0 é t^{2}v_{2}^{2} (ou, no caso especial v_{2}=0, o termo dominante é 2t^{4}), ambos não-negativos, o que garante mínimo local para g.
Isto não prova que (0,0) seja mínimo em \mathbb{R}^{2}, apenas que é mínimo ao restringir a qualquer reta que passe por (0,0).

Passo 7

Parte (b). Agora analisamos f ao longo da curva fornecida \gamma(t)=\bigl(t,\tfrac{3t^{2}}{2}\bigr). Substituímos na forma factorada original:
f\bigl(t,\tfrac{3t^{2}}{2}\bigr)=\Bigl(\tfrac{3t^{2}}{2}-t^{2}\Bigr)\Bigl(\tfrac{3t^{2}}{2}-2t^{2}\Bigr).
Calcule cada fator:
\tfrac{3t^{2}}{2}-t^{2}=\tfrac{1}{2}t^{2},\qquad \tfrac{3t^{2}}{2}-2t^{2}=-\tfrac{1}{2}t^{2}.
Multiplicando:
f\bigl(t,\tfrac{3t^{2}}{2}\bigr)=\tfrac{1}{2}t^{2}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}t^{2}\bigr)=-\tfrac{1}{4}t^{4}.
Para todo t\neq 0 suficientemente pequeno temos f(\gamma(t))<0. Em particular, arbitrariamente perto da origem existem pontos onde f assume valores negativos.

Passo 8

Concluir a classificação de (0,0):
  • Do Passo 5 sabemos que, ao longo de qualquer reta que passa pela origem, f tem mínimo local na origem (as restrições às retas têm valor \ge 0 próximo a 0).
  • Do Passo 7 vemos que existe uma curva (a parábola \gamma) ao redor da origem ao longo da qual f toma valores negativos arbitrariamente próximos de (0,0).
Esses dois fatos juntos implicam que (0,0) não é ponto de mínimo local de f no plano (se fosse mínimo local, haveria um disco em que f\ge f(0,0)=0); contudo existem direções (não-retais) onde f é negativo perto da origem. Portanto (0,0) não é mínimo nem máximo — é um ponto de sela.

Resposta

a) Para todo vetor unitário \vec{v}=(v_{1},v_{2}), t=0 é ponto de mínimo local de g(t)=f(tv_{1},tv_{2}).
b) (0,0) é ponto de sela de f.

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