Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os como pontos de máximo local, pontos de mínimo local ou pontos de sela.
Considere a função f(x, y)=x^{2} y+b x y-b y^{2}, onde b é uma constante. Verifique as afirmações a seguir.
a) Se b \neq 0, então f tem exatamente três pontos críticos, dos quais apenas dois são pontos de sela.
b) Se b>0, então f tem um único ponto de máximo local e não tem nenhum ponto de mínimo local.
c) Se b=0, então f tem infinitos pontos críticos, dos quais apenas um é ponto de sela.

Passo 1

O enunciado pede que encontremos os pontos críticos da função f(x,y)=x^{2}y+bxy-by^{2} (onde b é constante) e que os classifiquemos como máximo local, mínimo local ou sela. Em seguida devemos verificar as três afirmações dadas (a), (b) e (c).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
f(x,y)=x^{2}y+bxy-by^{2},
com parâmetro constante b. As tarefas são:
  • determinar todos os pontos críticos (ou conjunto de pontos críticos) dependendo de b;
  • classificar cada ponto crítico (máx., mín. ou sela);
  • usar essas classificações para verificar as afirmações (a), (b) e (c).

Passo 2

Primeiro passo técnico: calcular o gradiente e igualar a zero para achar pontos críticos. O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=f_x=2xy+by,
\frac{\partial f}{\partial y}=f_y=x^{2}+bx-2by.
Um ponto (x,y) é crítico se e somente se
f_x=0\quad\text{e}\quad f_y=0.

Passo 3

Resolver o sistema
y(2x+b)=0,
x^{2}+bx-2by=0.
Como o primeiro fator é produto, há duas possibilidades (casos) para resolver:
Caso 1: y=0. Substituindo em f_y=0 obtemos
x^{2}+bx= x(x+b)=0,
logo x=0 ou x=-b. Portanto, da linha y=0 surgem os pontos críticos (0,0) e (-b,0). Note que se b=0 esses dois colapsam em (0,0).

Passo 4

Caso 2: 2x+b=0. Então
x=-\frac{b}{2}.
Substituindo em f_y=0:
\left(-\frac{b}{2}\right)^{2}+b\left(-\frac{b}{2}\right)-2by=0.
Calcule passo a passo:
\left(-\frac{b}{2}\right)^{2}=\frac{b^{2}}{4},
b\left(-\frac{b}{2}\right)=-\frac{b^{2}}{2},
portanto
\frac{b^{2}}{4}-\frac{b^{2}}{2}-2by= -\frac{b^{2}}{4}-2by=0.
Isso dá
-\frac{b^{2}}{4}-2by=0 \quad\Longrightarrow\quad 2by=-\frac{b^{2}}{4}.
Se b\neq 0 podemos dividir por 2b e obter
y=-\frac{b}{8}.
Se b=0, a equação fica 0=0 e qualquer y satisfaz; neste caso x=-\tfrac{b}{2}=0 e toda a reta \{(0,y): y\in\mathbb{R}\} são pontos críticos.

Passo 5

Resumindo os pontos críticos dependendo de b:
  • Se b\neq 0: os pontos críticos são
(0,0),\quad (-b,0),\quad \left(-\frac{b}{2}, -\frac{b}{8}\right).
Ou seja, exatamente três pontos críticos.
  • Se b=0: a solução do sistema é x=0 e qualquer y. Logo os pontos críticos são todos os pontos da reta
\{(0,y): y\in\mathbb{R}\},
portanto infinitos pontos críticos.

Passo 6

Agora vamos classificar os pontos críticos. Usamos a matriz Hessiana (matriz das segundas derivadas) e o teste das segundas derivadas. Primeiro escrevo a Hessiana:
f_{xx}=2y,\quad f_{xy}=2x+b,\quad f_{yy}=-2b.
A matriz Hessiana é
H(x,y)=\begin{pmatrix}2y & 2x+b\\[4pt] 2x+b & -2b\end{pmatrix}.
O determinante da Hessiana é
D(x,y)=\det H = f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2} = (2y)(-2b)-(2x+b)^{2} = -4by-(2x+b)^{2}.
O teste local padrão:
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então máximo local.
  • Se D<0 então ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo (caso degenerado) e precisamos analisar por outras formas.
Vou avaliar D e f_{xx} nos pontos críticos encontrados.]

Passo 7

Avaliação em (0,0):
f_{xx}(0,0)=2\cdot 0=0,\qquad f_{xy}(0,0)=2\cdot 0 + b = b,
D(0,0)= -4b\cdot 0 -(b)^{2} = -b^{2}.
  • Se b\neq 0 então D(0,0)=-b^{2}<0, portanto (0,0) é ponto de sela quando b\neq 0.
  • Se b=0 então D(0,0)=0 e o teste é degenerado; teremos de analisar separadamente (faremos isso no estudo da reta x=0).

Passo 8

Avaliação em (-b,0):
f_{xx}(-b,0)=2\cdot 0=0,\qquad f_{xy}(-b,0)=2(-b)+b=-b,
D(-b,0)= -4b\cdot 0 -(-b)^{2} = -b^{2}.
Como b\neq 0 (este ponto é distinto somente quando b\neq 0), segue D(-b,0)=-b^{2}<0. Portanto para b\neq 0 o ponto (-b,0) também é ponto de sela.

Passo 9

Avaliação em \left(-\dfrac{b}{2}, -\dfrac{b}{8}\right) (este ponto existe apenas se b\neq 0). Calculemos:
2x+b = 2\left(-\frac{b}{2}\right)+b = -b+b=0,
portanto f_{xy}=0 naquele ponto. Além disso
f_{xx}=2y = 2\left(-\frac{b}{8}\right)= -\frac{b}{4},
f_{yy}=-2b.
O determinante fica
D=\;f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}= \left(-\frac{b}{4}\right)(-2b)-0 = \frac{b^{2}}{2}.
Como b\neq 0 aqui, temos D>0. Logo o tipo é dado pelo sinal de f_{xx}=-\dfrac{b}{4}:
  • Se b>0 então f_{xx}=-\dfrac{b}{4}<0, logo é um máximo local.
  • Se b<0 então f_{xx}=-\dfrac{b}{4}>0, logo é um mínimo local.

Passo 10

Conclusões para o caso b\neq 0:
  • Temos exatamente três pontos críticos: (0,0), (-b,0) e \left(-\dfrac{b}{2},-\dfrac{b}{8}\right).
  • Dois deles, (0,0) e (-b,0), são pontos de sela (pois D<0 nesses pontos).
  • O terceiro é um extremo não degenerado: é máximo local se b>0 e mínimo local se b<0.
Isto já responde e justifica a afirmação (a) (verdadeira) e parte de (b).

Passo 11

Análise detalhada do caso b=0. Então a função fica
f(x,y)=x^{2}y.
Encontramos que todos os pontos da reta x=0 são críticos: \{(0,y): y\in\mathbb{R}\}. Precisamos classificar cada ponto (0,y_{0}).
Fixe um ponto (0,y_{0}). Considere valores próximos (x,y) e o sinal de f(x,y)-f(0,y_{0}). Como f(0,y_{0})=0, temos perto de (0,y_{0})
f(x,y)=x^{2}y.
  • Se y_{0}>0: existe uma pequena vizinhança onde y>0 (basta tomar raio menor que y_{0}), então para pontos próximos f(x,y)=x^{2}y\ge 0 e é zero exatamente quando x=0. Assim (0,y_{0}) é mínimo local (pode ser degenerado porque ao variar em direção x=0 a função permanece igual a zero).
  • Se y_{0}<0: análogo, numa vizinhança pequena todos os y<0, então f(x,y)\le 0 e (0,y_{0}) é máximo local.
  • Se y_{0}=0, ou seja o ponto (0,0): para pontos próximos podemos tomar y>0 com pequeno x e obter f>0, e também tomar y<0 com pequeno x e obter f<0. Assim na vizinhança de (0,0) a função assume sinais diferentes e (0,0) é ponto de sela.
Portanto, quando b=0 há infinitos pontos críticos (a reta x=0); todos os pontos com y>0 são mínimos locais (degenerados), todos com y<0 são máximos locais (degenerados) e apenas (0,0) é ponto de sela.

Passo 12

Agora verifico explicitamente cada afirmação do enunciado usando os resultados anteriores:
  • (a) Para b\neq 0 existem exatamente três pontos críticos e só dois são pontos de sela — isso coincide com nossa análise do Passo 10. Portanto (a) é verdadeira.
  • (b) Se b>0, pelo Passo 10 o terceiro ponto \left(-\dfrac{b}{2},-\dfrac{b}{8}\right) é máximo local, e os outros dois são sela; assim há exatamente um máximo local e nenhum mínimo local. Portanto (b) é verdadeira.
  • (c) Se b=0, há infinitos pontos críticos (a reta x=0) e, conforme o Passo 11, apenas (0,0) é ponto de sela. Portanto (c) é verdadeira.

Resposta

a) Verdadeira
b) Verdadeira
c) Verdadeira

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