Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os como pontos de máximo local, pontos de mínimo local ou pontos de sela.
Considere a função
, onde
é uma constante. Verifique as afirmações a seguir.
a) Se
, então
tem exatamente três pontos críticos, dos quais apenas dois são pontos de sela.
b) Se
, então
tem um único ponto de máximo local e não tem nenhum ponto de mínimo local.
c) Se
, então
tem infinitos pontos críticos, dos quais apenas um é ponto de sela.
Considere a função
a) Se
b) Se
c) Se
Passo 1
O enunciado pede que encontremos os pontos críticos da função
(onde
é constante) e que os classifiquemos como máximo local, mínimo local ou sela. Em seguida devemos verificar as três afirmações dadas (a), (b) e (c).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
com parâmetro constante
. As tarefas são:
- determinar todos os pontos críticos (ou conjunto de pontos críticos) dependendo de
; - classificar cada ponto crítico (máx., mín. ou sela);
- usar essas classificações para verificar as afirmações (a), (b) e (c).
Passo 2
Primeiro passo técnico: calcular o gradiente e igualar a zero para achar pontos críticos. O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
Um ponto
é crítico se e somente se
Passo 3
Resolver o sistema
Como o primeiro fator é produto, há duas possibilidades (casos) para resolver:
Caso 1:
. Substituindo em
obtemos
logo
ou
. Portanto, da linha
surgem os pontos críticos
e
. Note que se
esses dois colapsam em
.
Passo 4
Caso 2:
. Então
Substituindo em
:
Calcule passo a passo:
portanto
Isso dá
Se
podemos dividir por
e obter
Se
, a equação fica
e qualquer
satisfaz; neste caso
e toda a reta
são pontos críticos.
Passo 5
Resumindo os pontos críticos dependendo de
:
- Se
: os pontos críticos são
Ou seja, exatamente três pontos críticos.
- Se
: a solução do sistema é e qualquer . Logo os pontos críticos são todos os pontos da reta
portanto infinitos pontos críticos.
Passo 6
Agora vamos classificar os pontos críticos. Usamos a matriz Hessiana (matriz das segundas derivadas) e o teste das segundas derivadas. Primeiro escrevo a Hessiana:
A matriz Hessiana é
O determinante da Hessiana é
O teste local padrão:
- Se
e então mínimo local. - Se
e então máximo local. - Se
então ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo (caso degenerado) e precisamos analisar por outras formas.
Vou avaliar
e
nos pontos críticos encontrados.]
Passo 7
Avaliação em
:
- Se
então , portanto é ponto de sela quando . - Se
então e o teste é degenerado; teremos de analisar separadamente (faremos isso no estudo da reta ).
Passo 8
Avaliação em
:
Como
(este ponto é distinto somente quando
), segue
. Portanto para
o ponto
também é ponto de sela.
Passo 9
Avaliação em
(este ponto existe apenas se
). Calculemos:
portanto
naquele ponto. Além disso
O determinante fica
Como
aqui, temos
. Logo o tipo é dado pelo sinal de
:
- Se
então , logo é um máximo local. - Se
então , logo é um mínimo local.
Passo 10
Conclusões para o caso
:
- Temos exatamente três pontos críticos:
, e . - Dois deles,
e , são pontos de sela (pois nesses pontos). - O terceiro é um extremo não degenerado: é máximo local se
e mínimo local se .
Isto já responde e justifica a afirmação (a) (verdadeira) e parte de (b).
Passo 11
Análise detalhada do caso
. Então a função fica
Encontramos que todos os pontos da reta
são críticos:
. Precisamos classificar cada ponto
.
Fixe um ponto
. Considere valores próximos
e o sinal de
. Como
, temos perto de
- Se
: existe uma pequena vizinhança onde (basta tomar raio menor que ), então para pontos próximos e é zero exatamente quando . Assim é mínimo local (pode ser degenerado porque ao variar em direção a função permanece igual a zero). - Se
: análogo, numa vizinhança pequena todos os , então e é máximo local. - Se
, ou seja o ponto : para pontos próximos podemos tomar com pequeno e obter , e também tomar com pequeno e obter . Assim na vizinhança de a função assume sinais diferentes e é ponto de sela.
Portanto, quando
há infinitos pontos críticos (a reta
); todos os pontos com
são mínimos locais (degenerados), todos com
são máximos locais (degenerados) e apenas
é ponto de sela.
Passo 12
Agora verifico explicitamente cada afirmação do enunciado usando os resultados anteriores:
-
(a) Para
existem exatamente três pontos críticos e só dois são pontos de sela — isso coincide com nossa análise do Passo 10. Portanto (a) é verdadeira. -
(b) Se
, pelo Passo 10 o terceiro ponto é máximo local, e os outros dois são sela; assim há exatamente um máximo local e nenhum mínimo local. Portanto (b) é verdadeira. -
(c) Se
, há infinitos pontos críticos (a reta ) e, conforme o Passo 11, apenas é ponto de sela. Portanto (c) é verdadeira.
Resposta
a) Verdadeira
b) Verdadeira
c) Verdadeira
b) Verdadeira
c) Verdadeira