Determine os pontos críticos das funções, a seguir investigue a sua natureza:
f(x, y)=3 x^{2}+2 x y+y^{2}+10 x+2 y+1

Passo 1

O enunciado pede que eu determine os pontos críticos da função
f(x,y)=3x^{2}+2xy+y^{2}+10x+2y+1
e que eu investigue a natureza desses pontos (mínimo, máximo ou ponto de sela).
Informações dadas:
f(x,y)=3x^{2}+2xy+y^{2}+10x+2y+1.
Perguntas que vou responder:
  1. Quais são os pontos críticos (pontos onde o gradiente é zero)?
  2. Para cada ponto crítico, qual é a sua natureza (mínimo, máximo ou sela)?
  3. Se for mínimo ou máximo, qual é o valor da função nesse ponto?

Passo 2

Precisamos calcular as derivadas parciais primeiras para obter o gradiente. Lembre-se: a derivada parcial de f em relação a x trata y como constante, e vice-versa. Vou calcular:
f_x=\frac{\partial f}{\partial x},\qquad f_y=\frac{\partial f}{\partial y}.
Calculemos cada uma term a term:
  • Para f_x: a derivada de 3x^{2} em relação a x é 6x; de 2xy (tratando y como constante) é 2y; de y^{2} é 0; de 10x é 10; de 2y é 0; de 1 é 0. Portanto
f_x=6x+2y+10.
  • Para f_y: a derivada de 3x^{2} é 0; de 2xy (tratando x como constante) é 2x; de y^{2} é 2y; de 10x é 0; de 2y é 2; de 1 é 0. Portanto
f_y=2x+2y+2.

Passo 3

Pontos críticos são soluções do sistema \nabla f(x,y)=(0,0)\), isto é: \[\begin{cases} 6x+2y+10=0,\\[4pt] 2x+2y+2=0. \end{cases}
Para simplificar, divido ambas as equações por 2\]: \[\begin{cases} 3x+y+5=0,\\[4pt] x+y+1=0. \end{cases}\] Subtraio a segunda equação da primeira para eliminar \(y:
(3x+y+5)-(x+y+1)=0 \Longrightarrow 2x+4=0 \Longrightarrow x=-2.
Substituo x=-2 em x+y+1=0:
-2+y+1=0 \Longrightarrow y=1.
Logo existe um único ponto crítico:
(x,y)=(-2,1).]

Passo 4

Agora vamos investigar a natureza do ponto crítico usando as derivadas segundas (matriz Hessiana). A Hessiana é a matriz
H=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\[4pt] f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}.
Calculemos as segundas derivadas:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(f_x)=\frac{\partial}{\partial x}(6x+2y+10)=6,
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(f_x)=\frac{\partial}{\partial y}(6x+2y+10)=2,
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(f_y)=\frac{\partial}{\partial y}(2x+2y+2)=2.
Portanto
H=\begin{pmatrix}6 & 2\\[4pt]2 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Usamos o teste das derivadas segundas para 2 variáveis: calcule D=\det(H).
D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2}=6\cdot 2 - 2^{2}=12-4=8.
Como D>0 e f_{xx}=6>0, a regra diz que o ponto crítico é um mínimo local. Além disso, como f é um polinômio quadrático cuja Hessiana é positiva definida (determinante positiva e f_{xx}>0 garantem positividade), o mínimo é global. Vou também calcular o valor da função nesse ponto para completar:
f(-2,1)=3(-2)^{2}+2(-2)(1)+1^{2}+10(-2)+2(1)+1.
Calcule passo a passo:
3(-2)^{2}=3\cdot 4=12,
2(-2)(1)=-4,
1^{2}=1,
10(-2)=-20,
2(1)=2,
somando: 12-4+1-20+2+1 = -8. Então o ponto crítico (-2,1) é um mínimo (global) e o valor mínimo de f é -8.

Passo 6

Resumo didático rápido (para fixar):
  • Derivadas parciais primeiras -> sistema \nabla f=0 para achar pontos críticos.
  • Derivadas segundas -> Hessiana H.
  • Teste: se \det(H)>0 e f_{xx}>0 então mínimo; se \det(H)>0 e f_{xx}<0 então máximo; se \det(H)<0 ponto de sela. Aqui \det(H)=8>0 e f_{xx}=6>0 dão mínimo.
    Força aí — você já encontrou um mínimo global e viu como aplicar o teste de Hessiana passo a passo!

Resposta

Ponto crítico: (-2,1) — mínimo (global) de valor -8.

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