Determine os pontos críticos das funções, a seguir investigue a sua natureza:
Passo 1
O enunciado pede que eu determine os pontos críticos da função
e que eu investigue a natureza desses pontos (mínimo, máximo ou ponto de sela).
Informações dadas:
Informações dadas:
Perguntas que vou responder:
- Quais são os pontos críticos (pontos onde o gradiente é zero)?
- Para cada ponto crítico, qual é a sua natureza (mínimo, máximo ou sela)?
- Se for mínimo ou máximo, qual é o valor da função nesse ponto?
Passo 2
Precisamos calcular as derivadas parciais primeiras para obter o gradiente. Lembre-se: a derivada parcial de
em relação a
trata
como constante, e vice-versa. Vou calcular:
Calculemos cada uma term a term:
- Para
: a derivada de em relação a é ; de (tratando como constante) é ; de é ; de é ; de é ; de é . Portanto
- Para
: a derivada de é ; de (tratando como constante) é ; de é ; de é ; de é ; de é . Portanto
Passo 3
Pontos críticos são soluções do sistema
Para simplificar, divido ambas as equações por
:
Substituo
em
:
Logo existe um único ponto crítico:
Passo 4
Agora vamos investigar a natureza do ponto crítico usando as derivadas segundas (matriz Hessiana). A Hessiana é a matriz
Calculemos as segundas derivadas:
Portanto
Passo 5
Usamos o teste das derivadas segundas para
variáveis: calcule
.
Como
e
, a regra diz que o ponto crítico é um mínimo local. Além disso, como
é um polinômio quadrático cuja Hessiana é positiva definida (determinante positiva e
garantem positividade), o mínimo é global. Vou também calcular o valor da função nesse ponto para completar:
Calcule passo a passo:
somando:
. Então o ponto crítico
é um mínimo (global) e o valor mínimo de
é
.
Passo 6
Resumo didático rápido (para fixar):
- Derivadas parciais primeiras -> sistema
para achar pontos críticos. - Derivadas segundas -> Hessiana
. - Teste: se
e então mínimo; se e então máximo; se ponto de sela. Aqui e dão mínimo.
Força aí — você já encontrou um mínimo global e viu como aplicar o teste de Hessiana passo a passo!
Resposta
Ponto crítico:
— mínimo (global) de valor
.