Nos itens seguintes determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para determinar se a sequência é crescente, decrescente ou não monótona. As informações relevantes que temos são apenas a fórmula de
para
(assumo
, que é o caso usual em problemas assim).
Passo 2
Primeiro vamos lembrar o que significam as opções:
- A sequência
é crescente se, para todo , . - A sequência
é decrescente se, para todo , .
Para decidir isso podemos compararcom . Vou usar uma manipulação algébrica simples (sem derivadas) que facilita a comparação: transformar de modo que fique claro como ele varia com .
Passo 3
Dividindo numerador e denominador de
por
obtemos uma forma mais simples:
Aqui expliquei: dividi tanto o numerador quanto o denominador por
, então o numerador vira
e o denominador vira
.
Passo 4
Defina
de modo que
. Agora calcule a diferença entre dois denominadores consecutivos:
Vamos desenvolver essa expressão passo a passo:
Fatorando termos semelhantes:
Somando:
Agora repare que, para
, temos
e
, e de fato
(por exemplo
enquanto
). Portanto
Isso mostra que
para todo
: os denominadores
são estritamente crescentes.
Passo 5
Como
e todos os
são positivos, quando os denominadores aumentam a seus recíprocos diminuem. Mais formalmente, de
segue
ou seja
para todo
. Portanto a sequência
é estritamente decrescente.
Passo 6
Para nos tranquilizar, um pequeno cheque numérico:
realmente
, consistente com o resultado algébrico.
Resposta
decrescente