Nos itens seguintes determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona.
a_{n}=\frac{5^{n}}{1+5^{2 n}}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=\frac{5^{n}}{1+5^{2n}}
e pede para determinar se a sequência é crescente, decrescente ou não monótona. As informações relevantes que temos são apenas a fórmula de a_{n} para n\in\mathbb{N} (assumo n\ge1, que é o caso usual em problemas assim).

Passo 2

Primeiro vamos lembrar o que significam as opções:
  • A sequência \{a_n\} é crescente se, para todo n, a_{n+1}\ge a_n.
  • A sequência \{a_n\} é decrescente se, para todo n, a_{n+1}\le a_n.
    Para decidir isso podemos comparar a_{n+1} com a_n. Vou usar uma manipulação algébrica simples (sem derivadas) que facilita a comparação: transformar a_n de modo que fique claro como ele varia com n.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador de a_n por 5^{n} obtemos uma forma mais simples:
a_n=\frac{5^{n}}{1+5^{2n}}=\frac{1}{5^{-n}+5^{n}}.
Aqui expliquei: dividi tanto o numerador quanto o denominador por 5^{n}, então o numerador vira 1 e o denominador vira 5^{-n}+5^{n}.

Passo 4

Defina
d_n=5^{n}+5^{-n},
de modo que a_n=\dfrac{1}{d_n}. Agora calcule a diferença entre dois denominadores consecutivos:
d_{n+1}-d_n=(5^{\,n+1}+5^{-(n+1)})-(5^{n}+5^{-n}).
Vamos desenvolver essa expressão passo a passo:
d_{n+1}-d_n=5^{n+1}-5^{n}+5^{-(n+1)}-5^{-n}.
Fatorando termos semelhantes:
5^{n+1}-5^{n}=5^{n}(5-1)=4\cdot5^{n},
5^{-(n+1)}-5^{-n}=5^{-n}\left(\frac{1}{5}-1\right)=-\frac{4}{5}\,5^{-n}.
Somando:
d_{n+1}-d_n=4\cdot5^{n}-\frac{4}{5}\,5^{-n}=4\!\left(5^{n}-5^{-(n+1)}\right).
Agora repare que, para n\ge1, temos 5^{n}>0 e 5^{-(n+1)}>0, e de fato 5^{n}>5^{-(n+1)} (por exemplo 5^{n}\ge5 enquanto 5^{-(n+1)}\le 1/25). Portanto
d_{n+1}-d_n=4\!\left(5^{n}-5^{-(n+1)}\right)>0.
Isso mostra que d_{n+1}>d_n para todo n\ge1: os denominadores d_n são estritamente crescentes.

Passo 5

Como a_n=\dfrac{1}{d_n} e todos os d_n são positivos, quando os denominadores aumentam a seus recíprocos diminuem. Mais formalmente, de d_{n+1}>d_n>0 segue
\frac{1}{d_{n+1}}<\frac{1}{d_n},
ou seja a_{n+1}<a_n para todo n\ge1. Portanto a sequência \{a_n\} é estritamente decrescente.

Passo 6

Para nos tranquilizar, um pequeno cheque numérico:
a_1=\frac{5}{1+25}=\frac{5}{26}\approx0{,}1923,\qquad a_2=\frac{25}{1+625}=\frac{25}{626}\approx0{,}0399,
realmente a_2<a_1, consistente com o resultado algébrico.

Resposta

decrescente

Exercícios relacionados