Nos itens seguintes determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
(com
inteiro positivo) e pede para determinar se ela é crescente, decrescente ou não monótona. Informações relevantes: a fórmula geral dos termos é
e o denominador
nunca é zero para
. A pergunta a responder é: qual é a classificação da monotonicidade dessa sequência?
Passo 2
Vamos lembrar a definição prática que usaremos: a sequência
é estritamente crescente se, para todo
,
; é estritamente decrescente se
; e não monótona se o sinal de
variar. Portanto, o teste natural e direto aqui é calcular
e verificar seu sinal. Esse método é o mais direto para sequências definidas por fórmula explícita dos termos.
Passo 3
Calculemos
explicitamente antes de subtrair:
Agora façamos a diferença:
Passo 4
Expandindo os dois produtos do numerador (cada passo explicado):
Subtraindo um do outro:
Portanto
Passo 5
Analise do sinal: o numerador
é positivo. Para todo
temos
e
, então o denominador
é positivo. Assim a fração inteira é positiva para todo
. Logo
para todo
, o que significa que a sequência é estritamente crescente.
Passo 6
(Aqui um comentário pedagógico rápido — alternativa que às vezes é mais curta:) Se preferir ver de outra forma, considere a função real
. Usando a regra do quociente,
para
, portanto
é crescente nesse intervalo e, em particular, os valores discretos
são crescentes. Isso confirma o resultado anterior.
Resposta
A sequência
é estritamente crescente.