Nos itens seguintes determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona.
a_{n}=\frac{3 n-1}{4 n+5}

Passo 1

O enunciado dá a sequência a_{n}=\dfrac{3n-1}{4n+5} (com n inteiro positivo) e pede para determinar se ela é crescente, decrescente ou não monótona. Informações relevantes: a fórmula geral dos termos é a_{n}=\dfrac{3n-1}{4n+5} e o denominador 4n+5 nunca é zero para n\in\mathbb{N}. A pergunta a responder é: qual é a classificação da monotonicidade dessa sequência?

Passo 2

Vamos lembrar a definição prática que usaremos: a sequência (a_n) é estritamente crescente se, para todo n, a_{n+1}-a_n>0; é estritamente decrescente se a_{n+1}-a_n<0; e não monótona se o sinal de a_{n+1}-a_n variar. Portanto, o teste natural e direto aqui é calcular a_{n+1}-a_n e verificar seu sinal. Esse método é o mais direto para sequências definidas por fórmula explícita dos termos.

Passo 3

Calculemos a_{n+1} explicitamente antes de subtrair:
a_{n+1}=\frac{3(n+1)-1}{4(n+1)+5}=\frac{3n+2}{4n+9}.
Agora façamos a diferença:
a_{n+1}-a_n=\frac{3n+2}{4n+9}-\frac{3n-1}{4n+5} =\frac{(3n+2)(4n+5)-(3n-1)(4n+9)}{(4n+9)(4n+5)}.

Passo 4

Expandindo os dois produtos do numerador (cada passo explicado):
(3n+2)(4n+5)=12n^2+23n+10,
(3n-1)(4n+9)=12n^2+23n-9.
Subtraindo um do outro:
(12n^2+23n+10)-(12n^2+23n-9)=10-(-9)=19.
Portanto
a_{n+1}-a_n=\frac{19}{(4n+9)(4n+5)}.

Passo 5

Analise do sinal: o numerador 19 é positivo. Para todo n\in\mathbb{N} temos 4n+5>0 e 4n+9>0, então o denominador (4n+9)(4n+5) é positivo. Assim a fração inteira é positiva para todo n. Logo a_{n+1}-a_n>0 para todo n, o que significa que a sequência é estritamente crescente.

Passo 6

(Aqui um comentário pedagógico rápido — alternativa que às vezes é mais curta:) Se preferir ver de outra forma, considere a função real f(x)=\dfrac{3x-1}{4x+5}. Usando a regra do quociente, f'(x)=\dfrac{3(4x+5)-4(3x-1)}{(4x+5)^2}=\dfrac{19}{(4x+5)^2}>0 para x>-5/4, portanto f é crescente nesse intervalo e, em particular, os valores discretos f(n)=a_n são crescentes. Isso confirma o resultado anterior.

Resposta

A sequência a_{n}=\dfrac{3n-1}{4n+5} é estritamente crescente.

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