Questão 10 (a) Encontre a solução geral da seguinte EDO
e faça um esboço do gráfico de algumas soluções (tomando pelo menos três valores para a constante: um negativo, um igual a zero e um positivo).
(b) Resolva o seguinte PVI:
(b) Resolva o seguinte PVI:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e pede duas coisas:
- (a) encontrar a solução geral da EDO
e fazer um esboço do gráfico de algumas soluções, tomando pelo menos três valores para a constante (um negativo, um igual a zero e um positivo);
- (b) resolver o problema de valor inicial (PVI)
Informações relevantes fornecidas:
- A variável independente é
e a dependente é . - A equação é dada em forma que envolve o produto
; portanto o caso exige cuidado (dividiremos por assumindo ). - Para o PVI a condição inicial é em
(logo estamos no ramo ).
Passo 2
Reescrever a EDO na forma padrão de primeira ordem dividindo por
(válido para
). Isso deixa a equação na forma
Aqui cada termo significa:
-
é a derivada de em relação a , -
é a função coeficiente que multiplica , -
é o segundo membro (função conhecida de ).
Essa é uma EDO linear de primeira ordem no formato
com
e
. Vou usar o método do fator integrante (integrating factor).
Passo 3
Explicar o método do fator integrante (breve aula):
- Para uma EDO linear
, o fator integrante é definido por
- Multiplicando toda a equação por
obtemos que o lado esquerdo se torna a derivada do produto , ou seja
- Então integramos ambos os lados para encontrar
e isolamos .
Vou aplicar isso com
.
Passo 4
Calcular o fator integrante:
onde usei que
é igual a
, portanto o resultado é
. Observação: o sinal de
importa para o domínio da solução; as soluções serão válidas em intervalos onde
ou
(não podemos atravessar
).
Multiplicando a equação original por
obtemos
Reconhece-se o lado esquerdo como derivada do produto
. De fato,
Portanto a equação se rewrite como
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo dá
(até uma constante) e a do lado direito é
. Assim
onde
é a constante de integração (real). Isolando
:
Portanto a solução geral, válida em cada intervalo onde
(ou seja, em
e em
separadamente), é
com
.
Passo 6
Agora resolver o PVI da parte (b). Usar a condição
. Substituir
na solução geral:
Igualando à condição
temos
Subtrair
dos dois lados:
logo
Substituindo de volta em
obtemos a solução particular do PVI:
válida para
. Como a condição inicial foi em
, consideramos essa solução no intervalo
.
Passo 7
Esboço do gráfico de algumas soluções — explicação didática de como desenhar (tomando
):
- Fórmulas das três curvas (todas válidas para
):
- Comportamento assintótico e singularidades:
- Para
todas as soluções têm comportamento dominado por (ou seja, crescem como uma parábola vertical para cima). - Para
as soluções com têm singularidade do tipo e divergem: se divergem para , se divergem para . A curva com é regular em (mas a solução obtida dividindo por não garante continuidade atravessando ; de qualquer forma a expressão é bem definida em ). - As soluções estão definidas separadamente para
e (não se pode “ligar” os dois ramos através de quando ).
- Alguns pontos numéricos para ajudar o esboço (valores rápidos sem calculadora avançada):
- Em
:
Logo para
temos
; para
temos
; para
temos
.
- Em
:
Logo para
temos
;
;
.
- Em
(ou ), note que e , então
Assim
;
;
.
- Observações geométricas úteis para o desenho:
- A curva com
é a parábola suave , sempre não negativa, mínima em . - A curva com
é sempre positiva (a soma de duas quantidades positivas) e tem um “vale” mais alto perto de pequeno por causa do termo , depois aproxima-se da parábola para grande. - A curva com
corta o eixo quando , isto é quando , ou seja . Para essa curva é negativa; para é positiva; perto de ela vai a .
- Como esboçar na prática:
- Desenhe dois ramos (um para
e outro para ), porque o comportamento é simétrico em para os termos e . - Marque pontos
e plote os valores calculados acima para cada . - Trace as curvas passando por esses pontos; para
grande, aproxime todas pelas parábolas que crescem como ; para próximo de respeito ao sinal de (blow-up para ).
Passo 8
Resumo e incentivo: a técnica principal aqui foi reconhecer uma EDO linear de primeira ordem, calcular o fator integrante
, transformar o lado esquerdo em
, integrar e isolar
. Para o PVI usamos a condição inicial para determinar
. Está tudo certo — você consegue desenhar as curvas usando os pontos e comportamentos que calculei. Vai firmão!
Resposta
(a)
(b)
(b)