Questão 7 Calcule:
Passo 1
O enunciado pede o valor numérico da integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
e . - A tarefa é calcular o valor exato dessa integral.
Passo 2
Ideia de resolução (por que usar substituição): observe que a parte
é uma função composta cujo derivado envolvido é proporcional a
, já que
. Quando a derivada do interior aparece (ou aparece até um fator constante) multiplicando a função externa elevada a uma potência, a substituição é a ferramenta mais direta. Vamos então usar a substituição adequada.
Passo 3
Fazer a substituição. Defina
Calcule
:
Mudar os limites da integral conforme
:
Passo 4
Reescrever a integral em termos de
. Substituindo
e
obtemos
Passo 5
Calcular a integral de
. A primitiva de
é
. Portanto
Como
, fica
Passo 6
Comentário final e dica de prova: expandir
com o binômio e integrar termo a termo funcionaria, mas dá muito trabalho; a substituição usada aqui é muito mais rápida e é o caminho esperado numa prova quando o derivado do interior aparece (até por um fator constante).