Questão 7 Calcule:
\int_{0}^{1} t^{2}\left(t^{3}-1\right)^{8} d t

Passo 1

O enunciado pede o valor numérico da integral definida
\int_{0}^{1} t^{2}\left(t^{3}-1\right)^{8}\,dt.
Informações dadas:
  • O integrando é t^{2}\left(t^{3}-1\right)^{8}.
  • Os limites de integração são t=0 e t=1.
  • A tarefa é calcular o valor exato dessa integral.

Passo 2

Ideia de resolução (por que usar substituição): observe que a parte \left(t^{3}-1\right) é uma função composta cujo derivado envolvido é proporcional a t^{2}, já que \dfrac{d}{dt}\left(t^{3}-1\right)=3t^{2}. Quando a derivada do interior aparece (ou aparece até um fator constante) multiplicando a função externa elevada a uma potência, a substituição é a ferramenta mais direta. Vamos então usar a substituição adequada.

Passo 3

Fazer a substituição. Defina
u = t^{3}-1.
Calcule du:
du = 3t^{2}\,dt \quad\Rightarrow\quad t^{2}\,dt = \frac{du}{3}.
Mudar os limites da integral conforme u:
\text{quando } t=0,\; u=0^{3}-1=-1; \qquad \text{quando } t=1,\; u=1^{3}-1=0.

Passo 4

Reescrever a integral em termos de u. Substituindo u e t^{2}\,dt obtemos
\int_{0}^{1} t^{2}\left(t^{3}-1\right)^{8}\,dt = \int_{-1}^{0} u^{8}\cdot\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int_{-1}^{0} u^{8}\,du.

Passo 5

Calcular a integral de u^{8}. A primitiva de u^{8} é \dfrac{u^{9}}{9}. Portanto
\frac{1}{3}\int_{-1}^{0} u^{8}\,du = \frac{1}{3}\left[\frac{u^{9}}{9}\right]_{-1}^{0} = \frac{1}{27}\bigl(0^{9}-(-1)^{9}\bigr).
Como (-1)^{9}=-1, fica
\frac{1}{27}\bigl(0-(-1)\bigr)=\frac{1}{27}.

Passo 6

Comentário final e dica de prova: expandir \left(t^{3}-1\right)^{8} com o binômio e integrar termo a termo funcionaria, mas dá muito trabalho; a substituição usada aqui é muito mais rápida e é o caminho esperado numa prova quando o derivado do interior aparece (até por um fator constante).

Resposta

\dfrac{1}{27}

Exercícios relacionados