Calcule o limite abaixo, caso exista.
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}+x}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite (quando existe):
\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}+x}{x-1}.
Informações dadas:
  • A expressão a ser analisada é a função racional \dfrac{x^{2}+x}{x-1}.
  • O ponto onde x se aproxima é x=2.
O que é pedido:
  • Determinar o valor do limite quando x tende a 2, se esse limite existir.

Passo 2

Entendendo o que significa calcular esse limite (de forma intuitiva e prática para prova).
  • Dizer que \lim_{x\to 2} F(x)=L significa que, ao fazermos x ficar cada vez mais próximo de 2 (mas não necessariamente igual a 2), os valores de F(x) ficam cada vez mais próximos de L.
  • Na prática, para funções que são “bem-comportadas” (como polinômios e quocientes de polinômios quando o denominador não é zero no ponto), podemos calcular o limite substituindo diretamente x=2. Vou justificar isso no passo seguinte.

Passo 3

Regra que vamos usar (explicada): limites de soma/produto/quociente.
  • Se f e g têm limite quando x\to a, então: \lim_{x\to a} (f(x)+g(x))=\lim_{x\to a} f(x)+\lim_{x\to a} g(x),
\lim_{x\to a} (f(x)\cdot g(x))=\left(\lim_{x\to a} f(x)\right)\cdot\left(\lim_{x\to a} g(x)\right),
e, desde que \lim_{x\to a} g(x)\neq 0,
\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to a} f(x)}{\lim_{x\to a} g(x)}.
  • Polinômios têm limite em qualquer ponto igual ao seu valor naquele ponto (ou seja, são contínuos). Logo \lim_{x\to a} x^{2}+x = a^{2}+a e \lim_{x\to a} x-1 = a-1.
  • Assim, para a nossa função racional podemos avaliar os limites do numerador e do denominador separadamente e depois formar o quociente, desde que o limite do denominador não seja zero.

Passo 4

Aplicando a regra ao problema: identificar numerador e denominador como funções cuja forma conhecemos.
  • Defina f(x)=x^{2}+x e g(x)=x-1.
  • Calcule os limites separados em x\to 2: \lim_{x\to 2} f(x)=\lim_{x\to 2} (x^{2}+x)=2^{2}+2,
\lim_{x\to 2} g(x)=\lim_{x\to 2} (x-1)=2-1.

Passo 5

Avaliação numérica das expressões obtidas no passo anterior (contando passo a passo para não errar na prova).
  • Calcule 2^{2}+2: 2^{2}=4,\qquad 4+2=6,então \lim_{x\to 2} (x^{2}+x)=6.
  • Calcule 2-1: 2-1=1,então \lim_{x\to 2} (x-1)=1.
  • Como o limite do denominador é diferente de zero ( 1\neq 0), podemos usar a regra do quociente de limites.

Passo 6

Concluir a existência do limite pelo argumento anterior.
  • Pelas propriedades dos limites e pelo fato de o denominador tender a 1\neq 0, o limite da função racional existe e é dado pelo quociente dos limites que calculamos: \lim_{x\to 2} \frac{x^{2}+x}{x-1}=\frac{\;6\;}{\;1\;}.

Resposta

6

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