Calcule o limite abaixo, caso exista.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite (quando existe):
Informações dadas:
- A expressão a ser analisada é a função racional
. - O ponto onde
se aproxima é .
O que é pedido:
- Determinar o valor do limite quando
tende a , se esse limite existir.
Passo 2
Entendendo o que significa calcular esse limite (de forma intuitiva e prática para prova).
- Dizer que
significa que, ao fazermos ficar cada vez mais próximo de (mas não necessariamente igual a ), os valores de ficam cada vez mais próximos de . - Na prática, para funções que são “bem-comportadas” (como polinômios e quocientes de polinômios quando o denominador não é zero no ponto), podemos calcular o limite substituindo diretamente
. Vou justificar isso no passo seguinte.
Passo 3
Regra que vamos usar (explicada): limites de soma/produto/quociente.
- Se
e têm limite quando , então:
e, desde que
,
- Polinômios têm limite em qualquer ponto igual ao seu valor naquele ponto (ou seja, são contínuos). Logo
e . - Assim, para a nossa função racional podemos avaliar os limites do numerador e do denominador separadamente e depois formar o quociente, desde que o limite do denominador não seja zero.
Passo 4
Aplicando a regra ao problema: identificar numerador e denominador como funções cuja forma conhecemos.
- Defina
e . - Calcule os limites separados em
:
Passo 5
Avaliação numérica das expressões obtidas no passo anterior (contando passo a passo para não errar na prova).
- Calcule
: então . - Calcule
: então . - Como o limite do denominador é diferente de zero (
), podemos usar a regra do quociente de limites.
Passo 6
Concluir a existência do limite pelo argumento anterior.
- Pelas propriedades dos limites e pelo fato de o denominador tender a
, o limite da função racional existe e é dado pelo quociente dos limites que calculamos:
Resposta
6