Determine os pontos em que a função a seguir é derivável e calcule a derivada nesses pontos.
f(x)= \begin{cases}(x+3)^{2} & \text { se } x \leq-2, \rightarrow \lim _{x \rightarrow-2^{-}}(x+3)^{2}=(1)^{2}=1 \\\ x^{2}-3 & \text { se }-2 \leq x \leq-1, \rightarrow \lim _{x \rightarrow-2^{+}} x^{2}-3=4-3=1 \\\\ 0 & \text { se }-1<x<0, \lim _{x \rightarrow} \\\ x^{2} & \text { se } 0 \leq x \leq 1, \\\ \cos \left(\frac{1}{x-1}\right) & \text { se } 1<x \leq 2, \\\\ 2 x-3 & \text { se } x>2 .\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= \begin{cases} (x+3)^{2}, & x\le -2,\\\ x^{2}-3, & -2\le x\le -1,\\\\ 0, & -1<x<0,\\\ x^{2}, & 0\le x\le 1,\\\ \cos\bigl(\tfrac{1}{x-1}\bigr), & 1<x\le 2,\\\\ 2x-3, & x>2, \end{cases}
e pede em que pontos ela é derivável e qual é f'(x) nesses pontos. Para isso precisamos:
  1. Calcular f'(x) em cada ramo (nos intervalos abertos).
  2. Verificar continuidade e igualdade de derivadas laterais nos pontos de fronteira \{-2,-1,0,1,2\}.

Passo 2

Derivadas em cada ramo (para x estritamente no interior):
\begin{aligned} &\text{Se }x<-2,\quad f(x)=(x+3)^2\quad\Longrightarrow\quad f'(x)=2(x+3).\\\ &\text{Se }-2<x<-1,\quad f(x)=x^2-3\quad\Longrightarrow\quad f'(x)=2x.\\\ &\text{Se }-1<x<0,\quad f(x)=0\quad\Longrightarrow\quad f'(x)=0.\\\ &\text{Se }0<x<1,\quad f(x)=x^2\quad\Longrightarrow\quad f'(x)=2x.\\\ &\text{Se }1<x<2,\quad f(x)=\cos\!\bigl(\tfrac{1}{x-1}\bigr)\quad\Longrightarrow\quad f'(x)=-\sin\!\bigl(\tfrac{1}{x-1}\bigr)\cdot\Bigl(-\tfrac1{(x-1)^2}\Bigr) =\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{1}{x-1}\bigr)}{(x-1)^2}.\\\ &\text{Se }x>2,\quad f(x)=2x-3\quad\Longrightarrow\quad f'(x)=2. \end{aligned}

Passo 3

Ponto x=-2:
  • Continuidade:
    \lim_{x\to -2^-}(x+3)^2=1,
    \lim_{x\to -2^+}(x^2-3)=1,
    f(-2)=(-2+3)^2=1.
    Logo é contínua em -2.
  • Derivadas laterais:
    f'_-(\\ -2)=2(x+3)\big|_{x=-2}=2,
    f'_+(-2)=2x\big|_{x=-2}=-4.
    Como 2\neq -4, não é derivável em -2.

Passo 4

Ponto x=-1:
  • Continuidade falha:
    f(-1)=(-1)^2-3=-2, mas \lim_{x\to -1^+}f(x)=0.
    Logo há descontinuidade, portanto não é derivável em -1.

Passo 5

Ponto x=0:
  • Continuidade:
    \lim_{x\to 0^-}f(x)=0 (ramo constante) e \lim_{x\to 0^+}x^2=0,
    f(0)=0^2=0.
  • Derivadas laterais:
    f'_-(0)=0, f'_+(0)=2x|_{x=0}=0.
    São iguais, logo f é derivável em 0 com f'(0)=0.

Passo 6

Ponto x=1:
  • Continuidade falha:
    \lim_{x\to1^-}x^2=1, mas \lim_{x\to1^+}\cos\bigl(\tfrac1{x-1}\bigr) não existe (oscila).
    Logo f não é contínua em 1 e, portanto, não é derivável.

Passo 7

Ponto x=2:
  • Continuidade falha:
    \lim_{x\to2^-}\cos\bigl(\tfrac1{x-1}\bigr)=\cos(1)\approx0{,}54,
    \lim_{x\to2^+}(2x-3)=1.
    Há salto, então não é derivável em 2.

Passo 8

Conclusão: f é derivável exatamente em todos os x\in\R exceto \{-2,-1,1,2\}. Em cada região temos
f'(x)= \begin{cases} 2(x+3), & x<-2,\\\\ 2x, & -2<x<-1,\\\\ 0, & -1<x<0,\\\\ 2x, & 0<x<1,\\\ \dfrac{\sin\bigl(\tfrac1{x-1}\bigr)}{(x-1)^2}, & 1<x<2,\\\\ 2, & x>2, \end{cases} \quad\text{e }f'(0)=0.

Resposta

f\) é derivável em \(\R\setminus\{-2,-1,1,2\}\). Sua derivada é \[f'(x)= \begin{cases} 2(x+3), & x<-2,\\\\ 2x, & -2<x<-1,\\\\ 0, & -1<x<0,\\\\ 2x, & 0<x<1,\\\ \dfrac{\sin\!\bigl(\tfrac1{x-1}\bigr)}{(x-1)^2}, & 1<x<2,\\\\ 2, & x>2, \end{cases}
com (f’(0)=0].

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