Continuidade: \lim_{x\to -2^-}(x+3)^2=1, \lim_{x\to -2^+}(x^2-3)=1, f(-2)=(-2+3)^2=1.
Logo é contínua em -2.
Derivadas laterais: f'_-(\\ -2)=2(x+3)\big|_{x=-2}=2, f'_+(-2)=2x\big|_{x=-2}=-4.
Como 2\neq -4, não é derivável em -2.
Passo 4
Ponto x=-1:
Continuidade falha: f(-1)=(-1)^2-3=-2, mas \lim_{x\to -1^+}f(x)=0.
Logo há descontinuidade, portanto não é derivável em -1.
Passo 5
Ponto x=0:
Continuidade: \lim_{x\to 0^-}f(x)=0 (ramo constante) e \lim_{x\to 0^+}x^2=0, f(0)=0^2=0.
Derivadas laterais: f'_-(0)=0, f'_+(0)=2x|_{x=0}=0.
São iguais, logo f é derivável em 0 com f'(0)=0.
Passo 6
Ponto x=1:
Continuidade falha: \lim_{x\to1^-}x^2=1, mas \lim_{x\to1^+}\cos\bigl(\tfrac1{x-1}\bigr) não existe (oscila).
Logo f não é contínua em 1 e, portanto, não é derivável.
Passo 7
Ponto x=2:
Continuidade falha: \lim_{x\to2^-}\cos\bigl(\tfrac1{x-1}\bigr)=\cos(1)\approx0{,}54, \lim_{x\to2^+}(2x-3)=1.
Há salto, então não é derivável em 2.
Passo 8
Conclusão: f é derivável exatamente em todos os x\in\R exceto \{-2,-1,1,2\}. Em cada região temos