y^{\prime}-y=1+x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' - y = 1 + x^2.
O conteúdo é equação linear e usaremos o fator integrante para encontrar a solução geral.

Passo 2

Escrevemos no formato padrão
y' + P(x)\,y = Q(x),
onde aqui P(x)=-1 e Q(x)=1+x^2.

Passo 3

O fator integrante é
\mu(x) = \exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\int -1\,dx\Bigr) = e^{-x}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x):
e^{-x}y' - e^{-x}y = (1+x^2)e^{-x}.
O lado esquerdo é a derivada
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}y\bigr) = (1+x^2)e^{-x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados:
e^{-x}y = \int (1+x^2)e^{-x}\,dx + C.

Passo 6

Separamos a integral:
\int (1+x^2)e^{-x}\,dx = \int e^{-x}\,dx + \int x^2 e^{-x}\,dx.
Temos
\int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C_1.

Passo 7

Para \displaystyle \int x^2 e^{-x}\,dx usamos partes duas vezes:
  1. Seja u=x^2, dv=e^{-x}dx então du=2x\,dx, v=-e^{-x}.
  2. Obtém-se
\int x^2 e^{-x}\,dx = -x^2 e^{-x} + 2\int x e^{-x}\,dx.
  1. Para \int x e^{-x}\,dx, seja u=x, dv=e^{-x}dx, então
\int x e^{-x}\,dx = -x e^{-x} - e^{-x} = -(x+1)e^{-x}.
Logo
\int x^2 e^{-x}\,dx = -x^2 e^{-x} + 2\bigl[-(x+1)e^{-x}\bigr] = -(x^2+2x+2)e^{-x}.

Passo 8

Somando as duas partes:
\int (1+x^2)e^{-x}\,dx = -e^{-x} - (x^2+2x+2)e^{-x} = -(x^2+2x+3)e^{-x}.
Logo
e^{-x}y = -(x^2+2x+3)e^{-x} + C.

Passo 9

Multiplicando por e^x:
y = -\bigl(x^2+2x+3\bigr) + C\,e^{x}.

Resposta

y(x) = C\,e^{x} - x^2 - 2x - 3,
onde C é constante arbitrária.

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