1. Determine os pontos de inflexão da curva F(x)=integral0^x 13+2 t+4 t^2 d t.

Passo 1

O enunciado nos dá
F(x)=integral0^x13+2t+4t^2,dt
e pede os pontos de inflexão da curva y=F(x).
Para isso vamos usar a definição: pontos de inflexão ocorrem onde a segunda derivada F''(x) se anula e troca de sinal.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a primeira derivada é
F'(x)=ddx!l(!integral0^x13+2t+4t^2,dtr) =13+2x+4x^2

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada, derivando F'(x) por x:
F''(x) =ddx!l((3+2x+4x^2)^-1r) =-(3+2x+4x^2)^-2,ddx(3+2x+4x^2) =-2+8xl(3+2x+4x^2r)^2

Passo 4

Para achar candidatos a ponto de inflexão, resolvemos
F''(x)=0 Longrightarrow -l(2+8xr)=0 Longrightarrow 2+8x=0 Longrightarrow x=-tfrac14

Passo 5

Verificamos a troca de concavidade em x=-tfrac14. Como o denominador l(3+2x+4x^2r)^2 é sempre positivo, o sinal de F''(x) é dado por -!(2+8x).
  • Para x<-tfrac14, 2+8x<0 e F''(x)>0 (concavidade para cima).
  • Para x>-tfrac14, 2+8x>0 e F''(x)<0 (concavidade para baixo).
    Logo há de fato inflexão em x=-tfrac14.

Passo 6

Se quisermos a coordenada completa do ponto de inflexão, basta avaliar
Fl(-tfrac14r) =integral0^-1/413+2t+4t^2,dt
Fazendo a integral por substituição completa de quadrado, obtém-se
F(x) =1raiz11l[arctan!l(tfrac4x+1raiz11r) -arctan!l(tfrac1raiz11r)r],
de onde
Fl(-tfrac14r) =-1raiz11arctan!l(tfrac1raiz11r)

Resposta

O único ponto de inflexão ocorre em
x=-tfrac14,
isto é,
l(-tfrac14,,-tfrac1raiz11arctan(tfrac1raiz11)r)

Exercícios relacionados