Nos exercícios abaixo, verifique se a função é contínua no número a, justifique sua resposta. Faça também um esboço do gráfico.
f(x)=l|x|x, se x neq 0 1, se x=0 ; a=0

Passo 1

Beleza, o enunciado define
f(x)= |x|x,&xneq0, 1,&x=0, a=0
e pergunta se f é contínua em 0. Lembrando a definição, f é contínua em 0 se e somente se
limxto0f(x)=f(0)
Para ver se esse limite existe, vamos calcular os limites laterais.

Passo 2

Para x>0, temos
|x|x=xx=1,
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limxto0^+f(x)=1
Para x<0, temos
|x|x=-xx=-1,
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limxto0^-f(x)=-1

Passo 3

Como
limxto0^+f(x)=1 e limxto0^-f(x)=-1,
os limites laterais são diferentes, ou seja, limxto0f(x) não existe. Portanto não temos limxto0f(x)=f(0) e f não é contínua em 0.

Passo 4

Esboço do gráfico:
  • Para x<0, f(x)=-1: reta horizontal em y=-1 com ponto aberto em x=0.
  • Para x>0, f(x)=1: reta horizontal em y=1 com ponto aberto em x=0.
  • Em x=0, f(0)=1: ponto cheio em (0,1).

Resposta

A função não é contínua em 0, pois os limites laterais em 0 são distintos.

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