Determine os pontos de interseção da reta que passa pelos pontos A=(13,10,3) e B=(-11,-14,3) e a circunferência de equação x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x-4 y-6 z-2=0.

Escolha uma opção:

a. P_{1}=(-3,2,3) e P_{2}=(1,2,7)
b. P_{1}=(1,2,-1) e P_{2}=(5,2,3)
c. P_{1}=(1,-2,3) e P_{2}=(-3,2,3)
d. P_{1}=(1,-2,3) e P_{2}=(1,2,-1)
e. P_{1}=(1,-2,3) e P_{2}=(5,2,3)
f. P_{1}=(-3,2,3) e P_{2}=(1,2,-1)

Passo 1

O enunciado pede os pontos de interseção da reta que passa por A=(13,10,3) e B=(-11,-14,3) com a superfície dada por
x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x-4y-6z-2=0.
O conteúdo aqui é interseção de reta com esfera: vamos (1) pôr a esfera em forma padrão, (2) parametrizar a reta e (3) substituir para obter e resolver uma equação em t.

Passo 2

Reescrevendo a equação da “circunferência” em forma de esfera, completamos quadrados:
(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = 16.
Então o centro é C=(1,2,3) e o raio é R=4.

Passo 3

O vetor direção da reta é
\overrightarrow{AB}=B-A = (-11-13,\,-14-10,\,3-3) = (-24,-24,0).
Uma parametrização é
x=13-24t,\quad y=10-24t,\quad z=3.

Passo 4

Substituindo essa parametrização na equação da esfera e expandindo, obtemos a equação em t: 1152t^2 -960t +192=0,
que, dividindo tudo por 192, vira
6t^2 -5t +1 = 0.

Passo 5

A resolução da quadrática dá discriminante \Delta = (-5)^2 -4\cdot6\cdot1 =1, e assim
t = \frac{5\pm1}{12},
isto é
t_1 = \frac12,\quad t_2 = \frac13.

Passo 6

Para t_1=\tfrac12: x=13-24\cdot\tfrac12 =1, y=10-24\cdot\tfrac12 =-2, z=3.
Logo P_1=(1,-2,3).
Para t_2=\tfrac13: x=13-24\cdot\tfrac13 =5, y=10-24\cdot\tfrac13 =2, z=3.
Logo P_2=(5,2,3).

Passo 7

Comparando com as alternativas, vemos que os pontos (1,-2,3) e (5,2,3) correspondem à opção (e).

Resposta

(e)

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