Determine os pontos de interseção da reta que passa pelos pontos A=(13,10,3) e B=(-11,-14,3) e a circunferência de equação x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x-4 y-6 z-2=0.
Escolha uma opção:
a. P_{1}=(-3,2,3) e P_{2}=(1,2,7)
b. P_{1}=(1,2,-1) e P_{2}=(5,2,3)
c. P_{1}=(1,-2,3) e P_{2}=(-3,2,3)
d. P_{1}=(1,-2,3) e P_{2}=(1,2,-1)
e. P_{1}=(1,-2,3) e P_{2}=(5,2,3)
f. P_{1}=(-3,2,3) e P_{2}=(1,2,-1)
Passo 1
O enunciado pede os pontos de interseção da reta que passa por A=(13,10,3) e B=(-11,-14,3) com a superfície dada por
x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x-4y-6z-2=0.
O conteúdo aqui é interseção de reta com esfera: vamos (1) pôr a esfera em forma padrão, (2) parametrizar a reta e (3) substituir para obter e resolver uma equação em t.
Passo 2
Reescrevendo a equação da “circunferência” em forma de esfera, completamos quadrados:
Substituindo essa parametrização na equação da esfera e expandindo, obtemos a equação em t: 1152t^2 -960t +192=0,
que, dividindo tudo por 192, vira
6t^2 -5t +1 = 0.
Passo 5
A resolução da quadrática dá discriminante \Delta = (-5)^2 -4\cdot6\cdot1 =1, e assim
t = \frac{5\pm1}{12},
isto é
t_1 = \frac12,\quad t_2 = \frac13.
Passo 6
Para t_1=\tfrac12: x=13-24\cdot\tfrac12 =1, y=10-24\cdot\tfrac12 =-2, z=3.
Logo P_1=(1,-2,3).
Para t_2=\tfrac13: x=13-24\cdot\tfrac13 =5, y=10-24\cdot\tfrac13 =2, z=3.
Logo P_2=(5,2,3).
Passo 7
Comparando com as alternativas, vemos que os pontos (1,-2,3) e (5,2,3) correspondem à opção (e).