Classifique em verdadeiro ou falso as afirmações referentes a superfície esférica de equação x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x-4 y+4 z=0.
O ponto P=(2,0,-2) é um ponto exterior a superfície esférica.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o ponto P=(2,0,-2) é exterior à superfície esférica dada por
x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x-4y+4z=0.
O conteúdo envolve identificar o centro e o raio da esfera (completando quadrados) e depois usar a fórmula da distância de um ponto ao centro para comparar com o raio.

Passo 2

Começamos completando quadrados na equação da esfera:
x^{2}-2x + y^{2}-4y + z^{2}+4z = 0.
Escrevendo cada parte como quadrado perfeito menos o termo compensador:
(x-1)^{2}-1 \;+\;(y-2)^{2}-4 \;+\;(z+2)^{2}-4 \;=\;0.
Somando os termos independentes ao outro lado:
(x-1)^{2} + (y-2)^{2} + (z+2)^{2} = 1 + 4 + 4 = 9.
Logo a esfera tem centro
C=(1,2,-2)
e raio R=3.

Passo 3

Agora calculamos a distância d de P a C usando a fórmula
d = \sqrt{(x_P - x_C)^{2} + (y_P - y_C)^{2} + (z_P - z_C)^{2}}.
Substituindo P=(2,0,-2) e C=(1,2,-2):
d = \sqrt{(2-1)^{2} + (0-2)^{2} + (-2 - (-2))^{2}} = \sqrt{1 + 4 + 0} = \sqrt{5}.

Passo 4

Como
\sqrt{5} \approx 2{,}24
é menor que o raio R=3, o ponto P está dentro da esfera e não no exterior.

Resposta

Falso.

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