Para que valores reais de \lambda a equação x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+4 y-6 z=\lambda-12 representa uma esfera?
Escolha uma opção:
a. \lambda<-3
b. \lambda<-1
c. \lambda<-2
d. \lambda>-2
e. \lambda>-1
f. \lambda>-3

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+4y-6z = \lambda - 12
e pede para quais valores de \lambda isso representa uma esfera. Para isso, precisamos completar os quadrados em x, y e z e identificar o raio ao final, exigindo que o quadrado do raio seja positivo.

Passo 2

Complete os quadrados em cada variável: x^{2}-2x = (x-1)^{2}-1 y^{2}+4y = (y+2)^{2}-4 z^{2}-6z = (z-3)^{2}-9
Somando essas expressões, a parte da esquerda vira
(x-1)^{2} + (y+2)^{2} + (z-3)^{2} \;-\;(1+4+9) \;=\; (x-1)^{2} + (y+2)^{2} + (z-3)^{2} -14.

Passo 3

Substituindo de volta na equação original, obtemos a forma padrão da esfera:
(x-1)^{2} + (y+2)^{2} + (z-3)^{2} = \lambda -12 +14 = \lambda + 2.
Dessa forma, o centro é (1,\,-2,\,3) e o quadrado do raio é R^{2} = \lambda + 2.

Passo 4

Para que isso seja uma esfera com raio real, precisamos de
R^{2} = \lambda + 2 > 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda > -2.

Resposta

d. \lambda > -2

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