Determine os pontos de máximo e/ou de minimo de cada funçāo, sujeita à restriçāo.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos de máximo e mínimo da função
sujeita à restrição
O conteúdo principal aqui é o método dos multiplicadores de Lagrange, pois temos uma função a ser extremada sob uma condição de contorno dada por uma curva (círculo).
Passo 2
Definimos a função de restrição
e aplicamos a condição de Lagrange, que diz que nos extremos o gradiente de
é paralelo ao gradiente de
. Isto é, existem
tais que
Passo 3
Calculamos os gradientes:
Logo, o sistema de equações de Lagrange é
além da própria restrição
.
Passo 4
Das igualdade de vetores vêm as duas equações escalares
Isto implica
Substituindo na restrição
dá
e como
, temos os dois candidatos
Passo 5
Avaliaremos
em cada ponto:
em
em
em
Como o círculo é compacto e
contínua, estes valores são precisamente o máximo e o mínimo.
Resposta
Ponto de máximo:
com
Ponto de mínimo: com
Ponto de mínimo: