Determine os pontos de máximo e/ou de minimo de cada funçāo, sujeita à restriçāo.
f(x, y)=x^{2}-y^{2} ; x-y=1

Passo 1

O enunciado pede os extremos de f(x,y)=x^{2}-y^{2}
sujeito à restrição x - y = 1.
O conteúdo é otimização com vínculo: podemos usar substituição para reduzir a uma variável ou multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Da restrição x - y = 1 isolamos
y = x - 1.
Substituindo em f(x,y) e desenvolvendo, obtemos
f(x) = x^{2} - (x-1)^{2} = x^{2} - \bigl(x^{2} - 2x + 1\bigr) = 2x - 1.

Passo 3

A função reduzida f(x)=2x-1 é uma reta com coeficiente angular positivo. Como uma reta não tem pontos de máximo ou mínimo (ela vai a -\infty quando x\to-\infty e a +\infty quando x\to+\infty), não aparecem extremos finitos.

Resposta

A função não possui pontos de máximo nem de mínimo sujeitos à restrição x - y = 1.

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