Determine os pontos máximos e mínimos (local). Determine também os pontos de inflexão. Identifique esses pontos no plano e a partir disso, faça o gráfico da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de máximos e mínimos locais da função
, além dos pontos de inflexão. Depois, vamos identificar esses pontos no gráfico da função. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas primeira e segunda. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função, que são candidatos a máximos ou mínimos. Para isso, precisamos calcular a primeira derivada de
.
A primeira derivada
nos mostra a inclinação da reta tangente à função em qualquer ponto
. Então, vamos derivar
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar onde a primeira derivada é igual a zero, pois esses são os pontos críticos:
Dividindo ambos os lados por 4:
Então:
Portanto, temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo, vamos usar a segunda derivada
. A segunda derivada nos ajuda a entender a concavidade da função.
Primeiro, calculamos a segunda derivada:
Agora, avaliamos
:
Como a segunda derivada é zero, não podemos concluir diretamente se é máximo ou mínimo usando o teste da segunda derivada. Nesse caso, precisamos analisar com mais detalhes o comportamento da função.
Passo 5
Vamos observar o comportamento da primeira derivada
ao redor de
:
-
Para
: suponha , -
Para
: suponha ,
A derivada muda de negativa para positiva passando por
, o que indica que a função passa de decrescente para crescente, caracterizando um mínimo local em
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar os pontos de inflexão, que são os pontos onde a concavidade da função muda. Para isso, analisamos a segunda derivada
.
Soluções para
:
No entanto, a segunda derivada
é sempre não negativa, já que qualquer número ao quadrado é positivo ou zero. Isso significa que a concavidade não muda em
, não havendo ponto de inflexão.
Passo 7
Vamos agora identificar os pontos encontrados no plano e esboçar o gráfico da função.
- Mínimo local em
: Então, o ponto é .
Como não há pontos de inflexão, e a função
é simétrica em relação a
, sabemos que ela tem uma forma de “parabólica” suave, sempre crescente para
e decrescente para
, atingindo um mínimo em
.
Resposta
A função
possui um mínimo local em
. Não há pontos de inflexão. O gráfico apresenta uma curva simétrica com um único ponto de mínimo no ponto
.