Determine os pontos máximos e mínimos (local). Determine também os pontos de inflexão. Identifique esses pontos no plano e a partir disso, faça o gráfico da função.
f(x)=(x+1)^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de máximos e mínimos locais da função , além dos pontos de inflexão. Depois, vamos identificar esses pontos no gráfico da função. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas primeira e segunda. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função, que são candidatos a máximos ou mínimos. Para isso, precisamos calcular a primeira derivada de .
A primeira derivada nos mostra a inclinação da reta tangente à função em qualquer ponto . Então, vamos derivar :

Passo 3

Agora, vamos encontrar onde a primeira derivada é igual a zero, pois esses são os pontos críticos:
Dividindo ambos os lados por 4:
Então:
Portanto, temos um ponto crítico em .

Passo 4

Para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo, vamos usar a segunda derivada . A segunda derivada nos ajuda a entender a concavidade da função.
Primeiro, calculamos a segunda derivada:
Agora, avaliamos :
Como a segunda derivada é zero, não podemos concluir diretamente se é máximo ou mínimo usando o teste da segunda derivada. Nesse caso, precisamos analisar com mais detalhes o comportamento da função.

Passo 5

Vamos observar o comportamento da primeira derivada ao redor de :
  • Para : suponha ,
  • Para : suponha ,
A derivada muda de negativa para positiva passando por , o que indica que a função passa de decrescente para crescente, caracterizando um mínimo local em .

Passo 6

Agora, vamos encontrar os pontos de inflexão, que são os pontos onde a concavidade da função muda. Para isso, analisamos a segunda derivada .
Soluções para :
No entanto, a segunda derivada é sempre não negativa, já que qualquer número ao quadrado é positivo ou zero. Isso significa que a concavidade não muda em , não havendo ponto de inflexão.

Passo 7

Vamos agora identificar os pontos encontrados no plano e esboçar o gráfico da função.
  • Mínimo local em : Então, o ponto é .
Como não há pontos de inflexão, e a função é simétrica em relação a , sabemos que ela tem uma forma de “parabólica” suave, sempre crescente para e decrescente para , atingindo um mínimo em .

Resposta

A função possui um mínimo local em . Não há pontos de inflexão. O gráfico apresenta uma curva simétrica com um único ponto de mínimo no ponto .

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