Determine os pontos máximos e mínimos (local). Determine também os pontos de inflexão. Identifique esses pontos no plano e a partir disso, faça o gráfico da função.
f(x) = (x - 3)² (x + 2)²

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os pontos de máximo e mínimo locais da função, além dos pontos de inflexão. Depois disso, vamos identificar esses pontos no plano e desenhar o gráfico da função. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente as derivadas primeira e segunda da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a encontrar os pontos críticos onde a função pode ter máximos ou mínimos.
Usamos a regra do produto e a regra da cadeia para derivar:
Simplificando:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Isso nos dá três soluções:

Passo 4

Vamos determinar se esses pontos são máximos ou mínimos usando a segunda derivada. Primeiro, encontramos a segunda derivada de .
Derivando :
Simplificando:

Passo 5

Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos:
  • Para :
Como a segunda derivada é zero, usamos a derivada primeira para verificar a concavidade.
  • Para :
Também inconclusivo, precisamos analisar a derivada primeira ao redor desses pontos.
  • Para :
Como , temos um ponto de máximo em .

Passo 6

Para e , como a segunda derivada é zero, vamos analisar o sinal da derivada primeira ao passar por esses pontos:
  • Em :
    • Para , digamos ,
    • Para , digamos ,
    • A derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local em .
  • Em :
    • Para , digamos ,
    • Para , digamos ,
    • A derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local em .

Passo 7

Agora, vamos encontrar os pontos de inflexão. Eles ocorrem onde a segunda derivada muda de sinal.
A segunda derivada é:
Resolvendo :
Então, e .
Analisando o sinal da segunda derivada:
  • Para ,
  • Para ,
  • Para ,
Isso indica que há pontos de inflexão em e .

Passo 8

Finalmente, vamos identificar esses pontos no plano e esboçar o gráfico da função.
  • Mínimos locais em e
  • Máximo local em
  • Pontos de inflexão em e

Resposta

Os pontos de mínimo local estão em e , o ponto de máximo local está em , e os pontos de inflexão são e . O gráfico da função reflete esses pontos, mostrando a concavidade mudando nos pontos de inflexão e os pontos de máximo e mínimo conforme identificado.

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