Determine os pontos máximos e mínimos (local). Determine também os pontos de inflexão. Identifique esses pontos no plano e a partir disso, faça o gráfico da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os pontos de máximo e mínimo locais da função, além dos pontos de inflexão. Depois disso, vamos identificar esses pontos no plano e desenhar o gráfico da função. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente as derivadas primeira e segunda da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a encontrar os pontos críticos onde a função pode ter máximos ou mínimos.
Usamos a regra do produto e a regra da cadeia para derivar:
Simplificando:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Isso nos dá três soluções:
Passo 4
Vamos determinar se esses pontos são máximos ou mínimos usando a segunda derivada. Primeiro, encontramos a segunda derivada de
.
Derivando
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos:
- Para
:
Como a segunda derivada é zero, usamos a derivada primeira para verificar a concavidade.
- Para
:
Também inconclusivo, precisamos analisar a derivada primeira ao redor desses pontos.
- Para
:
Como
, temos um ponto de máximo em
.
Passo 6
Para
e
, como a segunda derivada é zero, vamos analisar o sinal da derivada primeira ao passar por esses pontos:
-
Em
: - Para
, digamos , - Para
, digamos , - A derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local em
.
- Para
-
Em
: - Para
, digamos , - Para
, digamos , - A derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local em
.
- Para
Passo 7
Agora, vamos encontrar os pontos de inflexão. Eles ocorrem onde a segunda derivada muda de sinal.
A segunda derivada é:
Resolvendo
:
Então,
e
.
Analisando o sinal da segunda derivada:
- Para
, - Para
, - Para
,
Isso indica que há pontos de inflexão em
e
.
Passo 8
Finalmente, vamos identificar esses pontos no plano e esboçar o gráfico da função.
- Mínimos locais em
e - Máximo local em
- Pontos de inflexão em
e
Resposta
Os pontos de mínimo local estão em
e
, o ponto de máximo local está em
, e os pontos de inflexão são
e
. O gráfico da função reflete esses pontos, mostrando a concavidade mudando nos pontos de inflexão e os pontos de máximo e mínimo conforme identificado.