Determine os pontos máximos e mínimos (local). Determine também os pontos de inflexão. Identifique esses pontos no plano e a partir disso, faça o gráfico da função.
f(x) = x^4 - 4 x^5

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver o exercício onde precisamos achar os pontos de máximo e mínimo locais, além dos pontos de inflexão da função . Vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas, para encontrar esses pontos e depois identificar no gráfico da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função, que nos ajudará a localizar os pontos críticos onde podem ocorrer máximos ou mínimos.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo :
Isso nos dá duas soluções:
Então, os pontos críticos são e .

Passo 4

Para determinar se esses pontos são máximos ou mínimos, vamos usar a derivada segunda da função.
Primeiro, encontramos a derivada segunda:
Agora, avaliamos nos pontos críticos:
  • Para :
    Como a derivada segunda é igual a zero, não dá pra concluir usando esse teste. Vamos analisar a derivada primeira em torno de :
    Para ,
    Para ,
    Portanto, é um ponto de máximo local.
  • Para :
    Como a derivada segunda é negativa, é um ponto de máximo local.

Passo 5

Agora, vamos encontrar os pontos de inflexão, onde a concavidade da função muda. Para isso, resolvemos :
As soluções são:
Então, os pontos de inflexão estão em e .

Passo 6

Vamos resumir os pontos que encontramos:
  • Máximos locais:
    • com
    • com
  • Pontos de inflexão:
    • com
    • com (você pode calcular o valor exato se precisar)

Resposta

Os pontos de máximo local da função são e . Os pontos de inflexão estão em e . Ao identificar esses pontos no plano, o gráfico da função mostra que há um pico no , outro pico mais baixo em , e a curvatura muda nos pontos de inflexão mencionados.

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