Determine os pontos máximos e mínimos (local). Determine também os pontos de inflexão. Identifique esses pontos no plano e a partir disso, faça o gráfico da função.
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver o exercício onde precisamos achar os pontos de máximo e mínimo locais, além dos pontos de inflexão da função
. Vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas, para encontrar esses pontos e depois identificar no gráfico da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função, que nos ajudará a localizar os pontos críticos onde podem ocorrer máximos ou mínimos.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo
:
Isso nos dá duas soluções:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Para determinar se esses pontos são máximos ou mínimos, vamos usar a derivada segunda da função.
Primeiro, encontramos a derivada segunda:
Agora, avaliamos
nos pontos críticos:
-
Para
: Como a derivada segunda é igual a zero, não dá pra concluir usando esse teste. Vamos analisar a derivada primeira em torno de: Para,
Para,
Portanto,é um ponto de máximo local. -
Para
: Como a derivada segunda é negativa,é um ponto de máximo local.
Passo 5
Agora, vamos encontrar os pontos de inflexão, onde a concavidade da função muda. Para isso, resolvemos
:
As soluções são:
Então, os pontos de inflexão estão em
e
.
Passo 6
Vamos resumir os pontos que encontramos:
-
Máximos locais:
-
com -
com
-
-
Pontos de inflexão:
-
com -
com (você pode calcular o valor exato se precisar)
-
Resposta
Os pontos de máximo local da função
são
e
. Os pontos de inflexão estão em
e
. Ao identificar esses pontos no plano, o gráfico da função mostra que há um pico no
, outro pico mais baixo em
, e a curvatura muda nos pontos de inflexão mencionados.