Determine os pontos máximos e mínimos da seguinte função.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos de máximo e mínimo da função f(x)=x⁴−12x². Esse é um problema de cálculo diferencial: vamos usar derivadas para achar pontos críticos e o teste da segunda derivada para classificar cada ponto.
Passo 2
Vamos começar calculando a primeira derivada de f. Para isso, aplicamos a regra de potência em cada termo:
Passo 3
Agora achamos os pontos críticos resolvendo f’(x)=0. Temos:
Logo, os pontos críticos são x=0 e x=±√6.
Passo 4
Para classificar esses pontos, calculamos a segunda derivada:
Então avaliamos em cada ponto crítico:
• Em x=0: f’’(0)=12·0²−24=−24<0 → concavidade para baixo → ponto de máximo local.
• Em x=±√6: f’’(±√6)=12·(√6)²−24=12·6−24=72−24=48>0 → concavidade para cima → pontos de mínimo local.
• Em x=0: f’’(0)=12·0²−24=−24<0 → concavidade para baixo → ponto de máximo local.
• Em x=±√6: f’’(±√6)=12·(√6)²−24=12·6−24=72−24=48>0 → concavidade para cima → pontos de mínimo local.
Passo 5
Para determinar as coordenadas completas, calculamos os valores de f nesses pontos:
• f(0)=0⁴−12·0²=0
• f(±√6)=(√6)⁴−12·(√6)²=36−72=−36
Portanto, temos o ponto de máximo local em (0,0) e pontos de mínimo local em (√6,−36) e (−√6,−36).
• f(0)=0⁴−12·0²=0
• f(±√6)=(√6)⁴−12·(√6)²=36−72=−36
Portanto, temos o ponto de máximo local em (0,0) e pontos de mínimo local em (√6,−36) e (−√6,−36).
Resposta
Máximo local em (0,0). Mínimos locais em (√6,−36) e (−√6,−36).