Determine os pontos máximos e mínimos da seguinte função.
f(x)=x^4-12 x^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos de máximo e mínimo da função f(x)=x⁴−12x². Esse é um problema de cálculo diferencial: vamos usar derivadas para achar pontos críticos e o teste da segunda derivada para classificar cada ponto.

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada de f. Para isso, aplicamos a regra de potência em cada termo:
f'(x)=ddx(x^4)-12ddx(x^2)=4x^3-24x

Passo 3

Agora achamos os pontos críticos resolvendo f’(x)=0. Temos:
4x^3-24x=0implies4x(x^2-6)=0
Logo, os pontos críticos são x=0 e x=±√6.

Passo 4

Para classificar esses pontos, calculamos a segunda derivada:
f''(x)=ddx(4x^3-24x)=12x^2-24
Então avaliamos em cada ponto crítico:
• Em x=0: f’’(0)=12·0²−24=−24<0 → concavidade para baixo → ponto de máximo local.
• Em x=±√6: f’’(±√6)=12·(√6)²−24=12·6−24=72−24=48>0 → concavidade para cima → pontos de mínimo local.

Passo 5

Para determinar as coordenadas completas, calculamos os valores de f nesses pontos:
• f(0)=0⁴−12·0²=0
• f(±√6)=(√6)⁴−12·(√6)²=36−72=−36
Portanto, temos o ponto de máximo local em (0,0) e pontos de mínimo local em (√6,−36) e (−√6,−36).

Resposta

Máximo local em (0,0). Mínimos locais em (√6,−36) e (−√6,−36).

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