Determine os pontos máximos e mínimos da seguinte função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar os pontos máximos e mínimos da função $ f(x) = x^{3} - 3x $. Vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, para identificar onde a função atinge esses valores extremos.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como ela está subindo ou descendo em cada ponto. A derivada de $ f(x) $ é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos (onde podem ocorrer máximos ou mínimos), igualamos a derivada a zero:
Passo 4
Resolvendo essa equação:
Então, os pontos críticos estão em $ x = 1 $ e $ x = -1 $.
Passo 5
Para determinar se esses pontos são máximos ou mínimos, vamos analisar a segunda derivada, que nos ajuda a saber a concavidade da função.
A segunda derivada de $ f(x) $ é:
Passo 6
Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos:
- Para $ x = 1 $:
Como a segunda derivada é positiva, significa que a função é côncava para cima nesse ponto, indicando um mínimo.
- Para $ x = -1 $:
Como a segunda derivada é negativa, a função é côncava para baixo nesse ponto, indicando um máximo.
Resposta
A função $ f(x) = x^{3} - 3x $ apresenta um ponto máximo em $ x = -1 $ e um ponto mínimo em $ x = 1 $.