Determine os pontos máximos e mínimos da seguinte função.
f(x)=x^3-3 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar os pontos máximos e mínimos da função $ f(x) = x^{3} - 3x $. Vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, para identificar onde a função atinge esses valores extremos.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como ela está subindo ou descendo em cada ponto. A derivada de $ f(x) $ é:
f(x)

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos (onde podem ocorrer máximos ou mínimos), igualamos a derivada a zero:
3x^2 - 3 = 0

Passo 4

Resolvendo essa equação:
3x^2 = 3 x^2 = 1 x = pm 1
Então, os pontos críticos estão em $ x = 1 $ e $ x = -1 $.

Passo 5

Para determinar se esses pontos são máximos ou mínimos, vamos analisar a segunda derivada, que nos ajuda a saber a concavidade da função.
A segunda derivada de $ f(x) $ é:
f(x)

Passo 6

Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos:
  • Para $ x = 1 $:
x = 1
Como a segunda derivada é positiva, significa que a função é côncava para cima nesse ponto, indicando um mínimo.
  • Para $ x = -1 $:
f''(1) = 6(1) = 6 > 0
Como a segunda derivada é negativa, a função é côncava para baixo nesse ponto, indicando um máximo.

Resposta

A função $ f(x) = x^{3} - 3x $ apresenta um ponto máximo em $ x = -1 $ e um ponto mínimo em $ x = 1 $.

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