Determine os pontos onde a função
f(x, y)= x^2-y^2x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
é contínua.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= x^2-y^2x^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0), 0,&se (x,y)=(0,0),
e pede os pontos de continuidade. Vamos usar o fato de que quociente de polinômios é contínuo onde o denominador é não nulo e, para (0,0), verificar se
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0.

Passo 2

Para qualquer ponto (x,y)neq(0,0) temos x^2+y^2neq0, então
f(x,y)=x^2-y^2x^2+y^2
é quociente de funções polinomiais sem zero no denominador. Logo f é contínua em todo (x,y)neq(0,0).

Passo 3

No ponto (0,0) precisamos ver se existe
lim(x,y)to(0,0)f(x,y). Tomando caminhos distintos:
  1. Pela reta y=0:
f(x,0)=x^2-0x^2+0=1 Longrightarrow limxto0f(x,0)=1
  1. Pela reta y=x:
f(t,t)=t^2-t^2t^2+t^2=0 Longrightarrow limtto0f(t,t)=0
Como esses limites são diferentes,
lim(x,y)to(0,0)f(x,y) não existe e, em particular, não vale 0=f(0,0). Logo f é descontínua em (0,0).

Resposta

A função f é contínua em todo ponto (x,y)neq(0,0) e descontínua em (0,0).

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