Calcule a derivada de cada função, usando as regras de derivação:
f(x)=(2 x^3+3 x^2) e^x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=(2x^3+3x^2)e^x. Para isso, vamos usar a regra do produto, que diz
(fg)' = f',g + f,g',
além das regras básicas (x^n)' = n x^n-1 e (e^x)' = e^x.

Passo 2

Identificamos as funções
u(x) = 2x^3 + 3x^2 e v(x) = e^x
Pela regra do produto,
f'(x) = u'(x),v(x) + u(x),v'(x)

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e de v:
u'(x) = (2x^3)' + (3x^2)' = 6x^2 + 6x,
v'(x) = (e^x)' = e^x

Passo 4

Substituindo em f'(x),
f'(x) = (6x^2 + 6x),e^x + (2x^3 + 3x^2),e^x
Como ambos os termos têm fator e^x, fazemos
f'(x) = e^xl(6x^2 + 6x + 2x^3 + 3x^2r) = e^xl(2x^3 + 9x^2 + 6xr)

Passo 5

Para simplificar o polinômio, fatoramos:
2x^3 + 9x^2 + 6x = x,(2x^2 + 9x +6) = x,(2x+3),(x+2)
Logo,
f'(x) = e^x,x,(2x+3),(x+2)

Resposta

A forma expandida é
f'(x) = e^xl(2x^3 + 9x^2 + 6xr),
e a forma totalmente fatorada é
f'(x) = e^x,x,(2x+3),(x+2)

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