Determine os pontos onde a função
f(x, y)=arctan (y / x)
é contínua.

Passo 1

O enunciado pede para determinar onde a função
f(x,y)=arctanl(tfracyxr)
é contínua. O conteúdo é continuidade de funções de duas variáveis e vamos usar que a composição de funções contínuas é contínua e que o quociente y/x é contínuo quando xneq0.

Passo 2

Identificamos o domínio natural de f. A função interna
g(x,y)=yx
só está definida quando xneq0. Já arctan(t) está definida e é contínua para todo tinR.
Logo o domínio de f é
D = (x,y)inR^2 mid xneq0

Passo 3

Verificamos continuidade de cada parte:
  1. Em todo ponto com xneq0, o quociente g(x,y)=y/x é contínuo, pois é combinação de operações contínuas (divisão com denominador não nulo).
  2. A função arctan é contínua em R.
  3. A composição f(x,y)=arctanl(g(x,y)r) é contínua em cada ponto em que g é contínuo e arctan é contínuo.

Resposta

A função f(x,y)=arctan(y/x) é contínua em todos os pontos (x,y) tais que xneq0.

Exercícios relacionados