Determine os pontos do plano de abscissa 3 que distam 10 unidades do ponto P=(-3,6).

Passo 1

O enunciado pede: “Determine os pontos do plano de abscissa 3 que distam 10 unidades do ponto P=(-3,6).”
Informações dadas:
  • O ponto fixo é P = (-3,6).
  • Procuram-se pontos do plano cuja abscissa é 3. Ou seja, pontos com coordenada x=3.
  • A distância entre cada ponto procurado e P deve ser 10 unidades.

Passo 2

Entender o que significa "pontos de abscissa 3".
Todo ponto do plano com abscissa 3 tem a forma (3,y), onde y é a coordenada desconhecida que precisamos determinar. Portanto reduzimos o problema a encontrar os valores de y tais que (3,y) esteja à distância 10 de P=(-3,6).

Passo 3

Apresentar a fórmula da distância entre dois pontos no plano e explicar por que ela vale.
Se temos dois pontos A=(x_1,y_1) e B=(x_2,y_2), a distância entre eles é dada por
d(A,B)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
Por que essa fórmula? Porque forma um triângulo retângulo cujos catetos são as diferenças de coordenadas x_2-x_1 e y_2-y_1; pela relação de Pitágoras a hipotenusa (a distância) é a raiz quadrada da soma dos quadrados desses catetos.

Passo 4

Aplicar a fórmula da distância ao nosso caso. Substituindo A=P=(-3,6) e B=(3,y) na fórmula, exigimos que a distância seja 10:
\sqrt{(3-(-3))^2+(y-6)^2}=10.
Calcular a diferença de abscissas 3-(-3)=6. Então a equação fica
\sqrt{6^2+(y-6)^2}=10.

Passo 5

Eliminar a raiz quadrada e obter uma equação em (y-6)^2. Como ambos os lados da equação são não negativos, podemos elevar ao quadrado com segurança:
6^2+(y-6)^2=10^2.
Calcular 6^2=36 e 10^2=100, portanto
36+(y-6)^2=100.

Passo 6

Isolar (y-6)^2 e resolver a equação quadrática em forma de quadrado perfeito:
(y-6)^2=100-36=64.
Tomando raiz quadrada em ambos os lados obtemos duas possibilidades (positivo e negativo):
y-6=\pm 8.
Assim
y=6+8=14 \qquad\text{ou}\qquad y=6-8=-2.

Passo 7

Verificação rápida (substituir de volta na fórmula da distância):
  • Para y=14: \sqrt{6^2+(14-6)^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10. OK.
  • Para y=-2: \sqrt{6^2+(-2-6)^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10. OK.
Interpretação geométrica curta: o conjunto de pontos a distância 10 de P é a circunferência de centro P e raio 10; a reta vertical x=3 corta essa circunferência em dois pontos, que são os que encontramos.

Resposta

(3,14)
(3,-2)

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