Determine os pontos do plano de abscissa 3 que distam 10 unidades do ponto
.
Passo 1
O enunciado pede: “Determine os pontos do plano de abscissa
que distam
unidades do ponto
.”
Informações dadas:
- O ponto fixo é
. - Procuram-se pontos do plano cuja abscissa é
. Ou seja, pontos com coordenada . - A distância entre cada ponto procurado e
deve ser unidades.
Passo 2
Entender o que significa "pontos de abscissa
".
Todo ponto do plano com abscissa tem a forma
, onde
é a coordenada desconhecida que precisamos determinar. Portanto reduzimos o problema a encontrar os valores de
tais que
esteja à distância
de
.
Todo ponto do plano com abscissa
Passo 3
Apresentar a fórmula da distância entre dois pontos no plano e explicar por que ela vale.
Se temos dois pontos e
, a distância entre eles é dada por
Se temos dois pontos
Por que essa fórmula? Porque forma um triângulo retângulo cujos catetos são as diferenças de coordenadas
e
; pela relação de Pitágoras a hipotenusa (a distância) é a raiz quadrada da soma dos quadrados desses catetos.
Passo 4
Aplicar a fórmula da distância ao nosso caso. Substituindo
e
na fórmula, exigimos que a distância seja
:
Calcular a diferença de abscissas
. Então a equação fica
Passo 5
Eliminar a raiz quadrada e obter uma equação em
. Como ambos os lados da equação são não negativos, podemos elevar ao quadrado com segurança:
Calcular
e
, portanto
Passo 6
Isolar
e resolver a equação quadrática em forma de quadrado perfeito:
Tomando raiz quadrada em ambos os lados obtemos duas possibilidades (positivo e negativo):
Assim
Passo 7
Verificação rápida (substituir de volta na fórmula da distância):
- Para
: . OK. - Para
: . OK.
Interpretação geométrica curta: o conjunto de pontos a distância
de
é a circunferência de centro
e raio
; a reta vertical
corta essa circunferência em dois pontos, que são os que encontramos.