Determine as coordenadas dos vértices de um quadrado de lado 2 a, cujas diagonais estão sobre os eixos coordenados.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos:
  • Pede: determinar as coordenadas dos quatro vértices de um quadrado cujo lado mede 2a e cujas diagonais estão sobre os eixos coordenados.
  • Dados importantes:
    • comprimento do lado: 2a;
    • as diagonais do quadrado coincidem com os eixos x e y (ou seja, uma diagonal está sobre o eixo x e a outra sobre o eixo y);
    • a interseção das diagonais é o centro do quadrado (ponto médio de ambas), logo esse ponto é a origem (0,0) porque os eixos se cruzam ali.

Passo 2

Entendendo as propriedades geométricas que vamos usar (explicação didática):
  • Em um quadrado, as diagonais têm três propriedades importantes que vamos usar:
    1. As diagonais têm o mesmo comprimento.
    2. As diagonais se cruzam no centro do quadrado e se bissetam mutuamente (cada diagonal é dividida ao meio no ponto de interseção).
    3. As diagonais são perpendiculares entre si.
  • Se as diagonais coincidem com os eixos coordenados, então o ponto de interseção delas é a origem (0,0), que é o centro do quadrado. Portanto cada vértice estará a uma certa distância ao longo de um eixo, simetricamente em relação à origem.

Passo 3

Relacionar lado e diagonal do quadrado (fórmula e interpretação):
  • Para um quadrado de lado s a diagonal d satisfaz a relação conhecida (teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo isósceles formado por metade do quadrado):
d = s\sqrt{2}.
  • No nosso caso s = 2a. Portanto a diagonal vale
d = (2a)\sqrt{2} = 2a\sqrt{2}.
  • Como as diagonais são centradas na origem e se bissetam, a metade da diagonal (a distância do centro até um vértice ao longo de um eixo) é
\frac{d}{2} = \frac{2a\sqrt{2}}{2} = a\sqrt{2}.

Passo 4

Determinar as coordenadas dos vértices a partir do posicionamento sobre os eixos:
  • Uma diagonal está sobre o eixo x. Seus extremos (dois vértices opostos do quadrado) ficam nos pontos \left(\pm\frac{d}{2},0\right). Substituindo \frac{d}{2}=a\sqrt{2}, obtemos os vértices:
\left(a\sqrt{2},0\right)\quad\text{e}\quad\left(-a\sqrt{2},0\right).
  • A outra diagonal está sobre o eixo y. Seus extremos (os outros dois vértices opostos) ficam nos pontos \left(0,\pm\frac{d}{2}\right). Substituindo, obtemos:
\left(0,a\sqrt{2}\right)\quad\text{e}\quad\left(0,-a\sqrt{2}\right).

Passo 5

Verificação rápida (para eu te deixar confiante):
  • Distância entre \left(a\sqrt{2},0\right) e \left(0,a\sqrt{2}\right):
\sqrt{\big(a\sqrt{2}-0\big)^2+\big(0-a\sqrt{2}\big)^2} = \sqrt{2a^2+2a^2}=\sqrt{4a^2}=2a,
que é exatamente o lado do quadrado. Assim está consistente.

Resposta

\left(a\sqrt{2},0\right)
\left(-a\sqrt{2},0\right)
\left(0,a\sqrt{2}\right)
\left(0,-a\sqrt{2}\right)

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