Determine as coordenadas dos vértices de um quadrado de lado
, cujas diagonais estão sobre os eixos coordenados.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos:
- Pede: determinar as coordenadas dos quatro vértices de um quadrado cujo lado mede
e cujas diagonais estão sobre os eixos coordenados. - Dados importantes:
- comprimento do lado:
; - as diagonais do quadrado coincidem com os eixos
e (ou seja, uma diagonal está sobre o eixo e a outra sobre o eixo ); - a interseção das diagonais é o centro do quadrado (ponto médio de ambas), logo esse ponto é a origem
porque os eixos se cruzam ali.
- comprimento do lado:
Passo 2
Entendendo as propriedades geométricas que vamos usar (explicação didática):
-
Em um quadrado, as diagonais têm três propriedades importantes que vamos usar:
- As diagonais têm o mesmo comprimento.
- As diagonais se cruzam no centro do quadrado e se bissetam mutuamente (cada diagonal é dividida ao meio no ponto de interseção).
- As diagonais são perpendiculares entre si.
-
Se as diagonais coincidem com os eixos coordenados, então o ponto de interseção delas é a origem
, que é o centro do quadrado. Portanto cada vértice estará a uma certa distância ao longo de um eixo, simetricamente em relação à origem.
Passo 3
Relacionar lado e diagonal do quadrado (fórmula e interpretação):
- Para um quadrado de lado
a diagonal satisfaz a relação conhecida (teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo isósceles formado por metade do quadrado):
- No nosso caso
. Portanto a diagonal vale
- Como as diagonais são centradas na origem e se bissetam, a metade da diagonal (a distância do centro até um vértice ao longo de um eixo) é
Passo 4
Determinar as coordenadas dos vértices a partir do posicionamento sobre os eixos:
- Uma diagonal está sobre o eixo
. Seus extremos (dois vértices opostos do quadrado) ficam nos pontos . Substituindo , obtemos os vértices:
- A outra diagonal está sobre o eixo
. Seus extremos (os outros dois vértices opostos) ficam nos pontos . Substituindo, obtemos:
Passo 5
Verificação rápida (para eu te deixar confiante):
- Distância entre
e :
que é exatamente o lado do quadrado. Assim está consistente.