Sendo f(x)=\arctan \left(\frac{1}{x-2}\right) se x \neq 2, é possível escolher o valor de f(2) tal que a função f seja contínua em x=2 ?

Passo 1

O enunciado define
f(x)=\arctan\!\Bigl(\frac{1}{x-2}\Bigr)\quad(x\neq2)
e pergunta se existe um valor \,f(2) que torne f contínua em x=2. Para isso precisamos verificar se \lim_{x\to2}f(x) existe, isto é, se as limitações laterais coincidem.

Passo 2

Calculemos o limite pela direita. Para x\to2^+ temos x-2>0 pequeno, logo
\frac{1}{x-2}\;\longrightarrow\;+\infty
e, portanto,
\lim_{x\to2^+}f(x) =\lim_{x\to2^+}\arctan\!\Bigl(\tfrac{1}{x-2}\Bigr) =\arctan(+\infty) =\frac{\pi}{2}.

Passo 3

Calculemos o limite pela esquerda. Para x\to2^- temos x-2<0 pequeno, logo
\frac{1}{x-2}\;\longrightarrow\;-\infty
e, portanto,
\lim_{x\to2^-}f(x) =\lim_{x\to2^-}\arctan\!\Bigl(\tfrac{1}{x-2}\Bigr) =\arctan(-\infty) =-\frac{\pi}{2}.

Passo 4

Como
\lim_{x\to2^-}f(x)=-\frac{\pi}{2} \quad\text{e}\quad \lim_{x\to2^+}f(x)=\frac{\pi}{2},
os limites laterais são diferentes, portanto \lim_{x\to2}f(x) não existe. Sem limite único não há como definir um valor f(2) que garanta continuidade.

Resposta

Não.

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