Determine os pontos em que a sequência
converge pontualmente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A questão pede para a gente descobrir em quais pontos a sequência de funções
converge pontualmente. Isso está relacionado ao estudo de convergência de sequências de funções, uma parte da análise matemática. Para resolver, vamos precisar entender como a sequência se comporta para diferentes valores de
à medida que
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa convergência pontual. Dizemos que
converge para uma função
no ponto
se, para esse valor específico de
, a sequência dos valores
se aproxima de
quando
tende ao infinito. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão
. A gente precisa investigar o limite dessa expressão quando
vai para o infinito, para diferentes valores de
.
Passo 4
Vamos considerar os diferentes casos para
:
-
Caso 1:Quando
, tende a 0, porque elevar um número com módulo menor que 1 a potências cada vez maiores faz com que o resultado se aproxime de 0. Mesmo que multiplicemos por , que cresce sem limite, o termo decai mais rápido, fazendo com que o produto também tenda a 0. -
Caso 2:Aqui,
. Assim, . Como cresce sem limite, o limite de quando tende ao infinito é . Portanto, a sequência não converge nesse caso. -
Caso 3:Para
, cresce exponencialmente, muito mais rápido do que . Assim, o produto tende a quando cresce, indicando que a sequência também não converge nesse caso.
Passo 5
Resumindo os casos:
- Para
: - Para
: (não converge)
Resposta
A sequência
converge pontualmente para 0 em todos os pontos onde
.