Determine os pontos em que a sequência f_n(x) = n^2 * x^(2n) converge pontualmente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A questão pede para a gente descobrir em quais pontos a sequência de funções converge pontualmente. Isso está relacionado ao estudo de convergência de sequências de funções, uma parte da análise matemática. Para resolver, vamos precisar entender como a sequência se comporta para diferentes valores de à medida que cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa convergência pontual. Dizemos que converge para uma função no ponto se, para esse valor específico de , a sequência dos valores se aproxima de quando tende ao infinito. Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão . A gente precisa investigar o limite dessa expressão quando vai para o infinito, para diferentes valores de .

Passo 4

Vamos considerar os diferentes casos para :
  1. Caso 1:
    Quando , tende a 0, porque elevar um número com módulo menor que 1 a potências cada vez maiores faz com que o resultado se aproxime de 0. Mesmo que multiplicemos por , que cresce sem limite, o termo decai mais rápido, fazendo com que o produto também tenda a 0.
  2. Caso 2:
    Aqui, . Assim, . Como cresce sem limite, o limite de quando tende ao infinito é . Portanto, a sequência não converge nesse caso.
  3. Caso 3:
    Para , cresce exponencialmente, muito mais rápido do que . Assim, o produto tende a quando cresce, indicando que a sequência também não converge nesse caso.

Passo 5

Resumindo os casos:
  • Para :
  • Para : (não converge)

Resposta

A sequência converge pontualmente para 0 em todos os pontos onde .

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