Encontre a equação do plano tangente à superfície z = 2*x^2 - 3*x*y + y^2 que seja paralelo ao plano de equação 10 x - 7 y - 2 z + 5 = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente à superfície que seja paralelo ao plano . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e planos tangentes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a expressão para o plano tangente à superfície em um ponto qualquer . A fórmula do plano tangente é dada por:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de :

Passo 4

O plano dado ao qual o plano tangente deve ser paralelo é . O vetor normal a esse plano é .
Como os planos são paralelos, os vetores normais devem ser proporcionais. O vetor normal do plano tangente é dado por , já que rearranjamos a equação do plano tangente na forma .
Portanto, temos:

Passo 5

Isso implica que existem constantes tais que:
Vamos resolver para usando a terceira equação:

Passo 6

Agora, substituímos nas primeiras duas equações:

Passo 7

Lembrando que:
Agora, temos um sistema de equações para resolver:
Vamos resolver esse sistema.

Passo 8

Primeiro, multiplicamos a segunda equação por 2 para eliminar o denominador:
Agora, temos:
Multiplicamos a primeira equação por 4 e a segunda por 3 para eliminar :
Somando as duas equações:
Agora, substituímos na primeira equação original:

Passo 9

Agora que temos e , vamos encontrar usando a equação da superfície:
Portanto, o ponto de tangência é .

Passo 10

Finalmente, escrevemos a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação do plano tangente é .

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