Determine os pontos singulares de cada equação diferencial. Classifique cada ponto singular como regular ou irregular.
.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede para:
- determinar os pontos singulares dessa equação;
- classificar cada ponto singular como regular ou irregular.
Informações tiradas diretamente do enunciado:
- coeficiente de
: ; - coeficiente de
: ; - coeficiente de
: .
Passo 2
Um ponto
é singular quando o coeficiente de
se anula em
. Vamos achar as raízes de
:
As raízes são
Portanto os pontos singulares (no plano complexo) são
,
e
. (Se for considerado apenas o eixo real, o único singular real é
.)
Passo 3
Coloca-se a EDO na forma padrão
dividindo por
. Assim
Observação útil: como
, pode-se escrever
Passo 4
Definição prática que usaremos: um ponto
singular é dito regular se as funções
e
são analíticas (ou ao menos têm limite finito) em
. Se qualquer uma dessas quantidades for singular (por exemplo divergir), então
é um ponto singular irregular.
Intuição rápida:
pode ter polo de ordem no máximo
e
polo de ordem no máximo
em um ponto regular.
Passo 5
Análise em
.
Usando as expressões simplificadas:
Calculemos as quantidades exigidas na definição:
Ambas são funções racionais sem denominador nulo em
; em particular têm limite finito quando
:
Logo
e
são analíticas em
. Conclusão:
é um ponto singular regular.
Passo 6
Análise em
(o caso
é análogo).
Escrevendo o denominador fatorado:
Para
próximo de
o fator
é o único que se anula (os outros fatores são não nulos). Usando a expressão limpa para
e
:
Agora verifiquemos as quantidades da definição em
:
que é holomorfa (analítica) em
porque
não se anula em
(vale
). E
A expressão resultante é claramente finita e analítica em
(o fator
cancela a primeira ordem do polo). Portanto
e
são analíticas em
, de modo que
é um ponto singular regular.
Pelo mesmo raciocínio
é também um ponto singular regular (simetria do polinômio
).
Passo 7
Conclusão coletiva: todos os pontos singulares encontrados são do tipo regular — não há pontos singulares irregulares.