Determine os pontos singulares de cada equação diferencial. Classifique cada ponto singular como regular ou irregular.
\left(x^{3}+4 x\right) y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+6 y=0.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
\left(x^{3}+4x\right)y''-2xy'+6y=0
e pede para:
  • determinar os pontos singulares dessa equação;
  • classificar cada ponto singular como regular ou irregular.
Informações tiradas diretamente do enunciado:
  • coeficiente de y'': x^{3}+4x;
  • coeficiente de y': -2x;
  • coeficiente de y: 6.

Passo 2

Um ponto x_{0} é singular quando o coeficiente de y'' se anula em x_{0}. Vamos achar as raízes de x^{3}+4x:
x^{3}+4x = x(x^{2}+4) = 0.
As raízes são
x=0,\qquad x^{2}+4=0\Rightarrow x=\pm 2i.
Portanto os pontos singulares (no plano complexo) são x=0, x=2i e x=-2i. (Se for considerado apenas o eixo real, o único singular real é x=0.)

Passo 3

Coloca-se a EDO na forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=0 dividindo por x^{3}+4x. Assim
P(x)=\frac{-2x}{x^{3}+4x},\qquad Q(x)=\frac{6}{x^{3}+4x}.
Observação útil: como x^{3}+4x=x(x^{2}+4), pode-se escrever
P(x)=\frac{-2x}{x(x^{2}+4)}=\frac{-2}{x^{2}+4}\quad\text{(para }x\neq0\text{)},
Q(x)=\frac{6}{x(x^{2}+4)}.

Passo 4

Definição prática que usaremos: um ponto x_{0} singular é dito regular se as funções (x-x_{0})P(x) e (x-x_{0})^{2}Q(x) são analíticas (ou ao menos têm limite finito) em x=x_{0}. Se qualquer uma dessas quantidades for singular (por exemplo divergir), então x_{0} é um ponto singular irregular.
Intuição rápida: P pode ter polo de ordem no máximo 1 e Q polo de ordem no máximo 2 em um ponto regular.

Passo 5

Análise em x=0.
Usando as expressões simplificadas:
P(x)=\frac{-2}{x^{2}+4},\qquad Q(x)=\frac{6}{x(x^{2}+4)}.
Calculemos as quantidades exigidas na definição:
x\cdot P(x)=x\cdot\frac{-2}{x^{2}+4}=\frac{-2x}{x^{2}+4},
x^{2}\cdot Q(x)=x^{2}\cdot\frac{6}{x(x^{2}+4)}=\frac{6x}{x^{2}+4}.
Ambas são funções racionais sem denominador nulo em x=0; em particular têm limite finito quando x\to0:
\lim_{x\to0} xP(x)=0,\qquad \lim_{x\to0} x^{2}Q(x)=0.
Logo (x-0)P(x) e (x-0)^{2}Q(x) são analíticas em 0. Conclusão: x=0 é um ponto singular regular.

Passo 6

Análise em x=2i (o caso x=-2i é análogo).
Escrevendo o denominador fatorado:
x^{3}+4x = x(x-2i)(x+2i).
Para x próximo de 2i o fator x-2i é o único que se anula (os outros fatores são não nulos). Usando a expressão limpa para P(x) e Q(x):
P(x)=\frac{-2}{x^{2}+4}=\frac{-2}{(x-2i)(x+2i)},
Q(x)=\frac{6}{x(x^{2}+4)}=\frac{6}{x(x-2i)(x+2i)}.
Agora verifiquemos as quantidades da definição em x_{0}=2i:
(x-2i)P(x)=(x-2i)\cdot\frac{-2}{(x-2i)(x+2i)}=\frac{-2}{x+2i},
que é holomorfa (analítica) em x=2i porque x+2i não se anula em x=2i (vale 4i). E
(x-2i)^{2}Q(x)=(x-2i)^{2}\cdot\frac{6}{x(x-2i)(x+2i)}=(x-2i)\cdot\frac{6}{x(x+2i)}.
A expressão resultante é claramente finita e analítica em x=2i (o fator (x-2i) cancela a primeira ordem do polo). Portanto (x-2i)P(x) e (x-2i)^{2}Q(x) são analíticas em x=2i, de modo que x=2i é um ponto singular regular.
Pelo mesmo raciocínio x=-2i é também um ponto singular regular (simetria do polinômio x^{2}+4).

Passo 7

Conclusão coletiva: todos os pontos singulares encontrados são do tipo regular — não há pontos singulares irregulares.

Resposta

x=0 — singular regular
x=2i — singular regular
x=-2i — singular regular

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