f(t)=\left\{\begin{array}{ll} t, & \text { se } 0<t<1, \\\\ 2-t, & \text { se } 1 \leq t<2, \\\\ 0, & \text { se } t \geq 2 \end{array} \text { e } g(t)=\left\{\begin{array}{lc} 1, & \text { se } 0<t<1 \\\\ 0, & \text { caso contrário } \end{array}\right. \text {. }\right.
Calcule f * g.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a convolução f*g\), onde as funções são (peguei todas as definições do enunciado):
\[f(t)=\begin{cases} t, & \text{se }0<t<1,\\[4pt] 2-t, & \text{se }1\le t<2,\\[4pt] 0, & \text{se }t\ge 2, \end{cases} \qquad g(t)=\begin{cases} 1, & \text{se }0<t<1,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}
Para não deixar brechas: vou assumir que f(t)=0\] para \(t\le 0 (o enunciado dá f para t>0 e para t\ge2; é o comportamento mais natural e necessário para a convolução estar bem definida).
A pergunta é única: encontrar explicitamente (f*g)(t) para todo t\in\mathbb{R}.]
Passo 2
Relembrando a definição e transformando num formato útil. A convolução é
Como g(t-\tau)=1 exatamente quando 0<t-\tau<1, isto é quando t-1<\tau<t, podemos escrever o fator indicador:
g(t-\tau)=\mathbf{1}_{(t-1,t)}(\tau).
Além disso f(\tau) é diferente de zero apenas em (0,2). Logo a integral reduz-se à interseção dos intervalos (0,2) e (t-1,t). Portanto os limites de integração são
a=\max(0,t-1),\qquad b=\min(2,t),
e assim
(f*g)(t)=\int_{a}^{b} f(\tau)\,d\tau,
com a convenção óbvia: se a\ge b a integral vale 0 (intervalo vazio). Essa é a ideia-chave: a convolução vira uma integral de f em um intervalo que depende de t.
Passo 3
Agora vamos estudar todos os valores de t para ver como ficam a e b e qual a forma de f dentro do intervalo [a,b]. Os intervalos relevantes aparecem naturalmente: quando t<0, 0<t<1, 1\le t<2, 2\le t<3 e t\ge3. Vou tratar cada caso separadamente.
Passo 4
Caso t\le 0.
Aqui t-1<0 e t\le 0 implica b=\min(2,t)=t\le 0 e a=\max(0,t-1)=0. Então a\ge b (ou seja o intervalo [a,b] é vazio). Portanto
(f*g)(t)=0\qquad\text{se }t\le 0.
Passo 5
Caso 0<t<1.
Agora t-1<0 então a=\max(0,t-1)=0. Também b=\min(2,t)=t (pois t<1<2). Assim
Caso 1\le t<2.
Agora t-1\in[0,1) e b=\min(2,t)=t. Portanto
(f*g)(t)=\int_{t-1}^{t} f(\tau)\,d\tau.
No intervalo \tau\in(t-1,t) parte dos \tau estão em (0,1) (onde f(\tau)=\tau) e parte em [1,t) (onde f(\tau)=2-\tau), porque t-1<1\le t. Então dividimos a integral em duas:
Simplificando: calcule \frac{1}{2}-\frac{3}{2}=-1 e note que -\frac{(t-1)^{2}}{2}-\frac{t^{2}}{2}=-\left(\frac{t^{2}-2t+1+t^{2}}{2}\right)=-\left(t^{2}-t+\frac{1}{2}\right). Porém é mais simples observar que a soma pode ser reorganizada; realizando as operações obtemos
(f*g)(t)=3t-t^{2}-\frac{3}{2}.
(Se quiser conferir rápido: para t=1 dá 3-1-\tfrac{3}{2}=\tfrac{1}{2}, que casa com o valor do caso anterior \tfrac{t^{2}}{2} em t=1.)
Passo 7
Caso 2\le t<3.
Aqui t-1\in[1,2) e b=\min(2,t)=2. Portanto
(f*g)(t)=\int_{t-1}^{2} f(\tau)\,d\tau.
Para \tau\in[t-1,2] com t-1\ge1 temos f(\tau)=2-\tau em todo o intervalo. Logo
Caso t\ge 3.
Aqui t-1\ge 2 e a=\max(0,t-1)=t-1\ge 2, mas b=\min(2,t)=2. Então a\ge b e o intervalo é vazio, logo
(f*g)(t)=0\qquad\text{se }t\ge 3.
Passo 9
Juntando todos os casos e organizando de forma limpa (incluindo os pontos de fronteira de modo contínuo), obtemos a expressão final de (f*g)(t)\):
\[(f*g)(t)= \begin{cases} 0, & t\le 0,\\[4pt] \dfrac{t^{2}}{2}, & 0<t<1,\\[6pt] 3t-t^{2}-\dfrac{3}{2}, & 1\le t<2,\\[6pt] \dfrac{(t-3)^{2}}{2}, & 2\le t<3,\\[4pt] 0, & t\ge 3. \end{cases}
Essa função é contínua nos pontos t=0,1,2,3\] (verificações rápidas: em \(t=1 os dois ramos valem \tfrac{1}{2}, em t=2 ambos os ramos dão \tfrac{1}{2}, em t=3 o ramo direito dá 0, etc.), como é esperado para a convolução de funções com suporte finito.]