Questão 3. Utilizando o processo de integração dupla, demonstre o volume de um cilindro circular reto cuja base possui raio R e altura h.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar, usando integração dupla, o volume de um cilindro circular reto cuja base tem raio R e altura h.
Informações dadas:
  • Raio da base: R.
  • Altura do cilindro: h.
  • O corpo é um cilindro circular reto (base é um disco de raio R, paredes paralelas ao eixo, altura h constante).
O que precisamos obter: a expressão do volume do cilindro em função de R e h.

Passo 2

Vamos escrever o volume como uma integral dupla. A ideia é: para cada ponto (x,y) da base (o disco), a “altura” do cilindro sobre esse ponto é constante e igual a h. Assim o volume pode ser obtido integrando essa altura sobre a região D da base:
V=\iint_{D} h\,dA.
Aqui dA significa um elemento infinitesimal de área na base e D é o disco \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le R^{2}\}.

Passo 3

Observação importante sobre essa integral: como h é constante pode sair da integral. Assim
V=h\iint_{D} dA.
Portanto basta calcular a área da região D (o disco de raio R) e depois multiplicar por h. Ou seja, o problema se reduz a calcular \iint_{D} dA, isto é, a área do disco.

Passo 4

Para calcular a área do disco é muito conveniente usar coordenadas polares, pois a região é naturalmente descrita por um limite em termos do raio e do ângulo. Fazendo a mudança para coordenadas polares:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r\ge0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo polar. Nessa mudança, o elemento de área dA transforma-se em
dA = r\,dr\,d\theta.
Explicando por que: um pequeno retângulo no plano polar com lados aproximados dr e r\,d\theta tem área aproximadamente dr\cdot(r\,d\theta)=r\,dr\,d\theta. Esse fator r é o Jacobiano da transformação e garante que as áreas sejam contadas corretamente.

Passo 5

Agora descrevemos os limites da região D em coordenadas polares. O disco de raio R corresponde a
0\le r\le R,\qquad 0\le\theta\le 2\pi.
Portanto a área do disco é
\iint_{D} dA=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R} r\,dr\,d\theta.

Passo 6

Vamos calcular a integral interna primeiro (integração em r). Calcule:
\int_{0}^{R} r\,dr = \left.\frac{r^{2}}{2}\right|_{0}^{R}=\frac{R^{2}}{2}.
Expliquei o passo: a primitiva de r é r^{2}/2, e ao avaliar de 0 a R obtemos R^{2}/2.

Passo 7

Agora integramos em \theta usando o resultado anterior:
\int_{0}^{2\pi}\left(\frac{R^{2}}{2}\right)d\theta = \frac{R^{2}}{2}\cdot\left.\theta\right|_{0}^{2\pi}=\frac{R^{2}}{2}\cdot 2\pi=\pi R^{2}.
Logo a área do disco é \pi R^{2}. (Relembre: foi usada a separação das integrais porque o integrando separou em função de r vezes função de \theta — aqui a função de \theta é constante.)

Passo 8

Voltando à expressão do volume temos V=h\iint_{D} dA. Como \iint_{D} dA=\pi R^{2}, segue que o volume do cilindro é h vezes a área do disco base.

Resposta

V=\pi R^{2}h

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