Determine o limite das sequência ou demonstre que as mesmas divergem.
an=sinh (ln n)

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência an=sinh(ln n) quando ntoinfty. O conteúdo envolve funções hiperbólicas e exponenciais, e vamos usar a definição de sinh(x) para reescrever a sequência de forma que facilite o cálculo do limite.

Passo 2

Começamos relembrando a definição de sinh(x):
sinh(x)=e^x - e^-x2
Agora, aplicamos essa definição com x=ln n. Substituindo, temos
an = sinh(ln n) = e^ln n - e^-ln n2

Passo 3

Como e^ln n=n e e^-ln n=1n, a sequência simplifica para
an = n - 1n2 = n2 - 12n

Passo 4

Por fim, analisamos o limite quando ntoinfty. O termo 12n vai a zero e o termo n2 cresce sem limite. Logo,
limntoinfty an = limntoinfty l(n2 - 12nr) = +infty

Resposta

A sequência diverge, pois anto+infty.

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