Informações dadas e observações iniciais (extraídas do enunciado):
A função f depende apenas de y: f(x,y)=\sqrt{y^{2}-4}.
Para que f seja real é necessário \;y^{2}-4\ge 0\;, isto é \;|y|\ge 2.
A questão pede os pontos iniciais (x_{0},y_{0}) para os quais é possível garantir unicidade da solução.]
Passo 2
Lembrete do teorema que vamos usar (forma prática e intuitiva).
Teorema de existência e unicidade (Picard–Lindelöf), numa versão útil: se f(x,y) e \partial f/\partial y são contínuas numa vizinhança de (x_{0},y_{0}), então existe uma única solução local do problema de valor inicial passando por (x_{0},y_{0}).
Explicando em palavras simples:
“Contínuas numa vizinhança” significa que existe um retângulo \{(x,y):|x-x_0|<a,\;|y-y_0|<b\} onde tanto f quanto \partial f/\partial y não têm saltos nem singularidades.
Quando essas condições valem, a solução local existe e é única; se a condição sobre \partial f/\partial y falha, a unicidade pode falhar (ou seja, pode haver várias soluções passando pelo mesmo ponto).
Passo 3
Verificar continuidade de f e calcular \partial f/\partial y.
Primeiro a definição/domínio: \;f(x,y)=\sqrt{y^{2}-4} está definida (como número real) somente para \;y^{2}-4\ge0, isto é \;|y|\ge2.
Calcular a derivada parcial em relação a y. Tome g(y)=\sqrt{y^{2}-4}=(y^{2}-4)^{1/2}. Usando a regra da cadeia:
A função f(x,y)=\sqrt{y^{2}-4} é contínua em todo o conjunto \{(x,y):|y|\ge2\}. Em particular, em pontos com |y|>2 ela é obviamente contínua.
A derivada \partial f/\partial y=\dfrac{y}{\sqrt{y^{2}-4}} existe e é contínua em qualquer região em que |y|>2. Porém, quando y\to\pm 2 o denominador tende a zero e \partial f/\partial y diverge: a derivada não é finita nem contínua em pontos com y=\pm 2.
Pelo teorema de Picard–Lindelöf, em qualquer ponto (x_{0},y_{0}) com |y_{0}|>2 existe uma vizinhança onde f e \partial f/\partial y são contínuas, logo existe e é única uma solução local passando por (x_{0},y_{0}).
Conclusão parcial: para todos os pontos (x_{0},y_{0}) com |y_{0}|>2 a unicidade (local) está garantida.
Passo 5
Verificação do que acontece em |y_{0}|<2 e em y_{0}=\pm 2.
Se |y_{0}|<2 então f(x_0,y_0)=\sqrt{y_{0}^{2}-4} não é real. Logo não existe solução real passando por um ponto com |y_{0}|<2. Portanto esses pontos nem sequer fazem sentido como condições iniciais reais.
Em y_{0}=\pm 2 temos f(x,y)=0 no ponto, então existe ao menos a solução constante y(x)\equiv 2 (respectivamente y(x)\equiv -2). Mas a condição sobre \partial f/\partial y falha ali (derivada explode), então o teorema de unicidade não se aplica — é necessário checar se de fato a unicidade pode falhar. Vamos construir explicitamente soluções alternativas para mostrar que a unicidade realmente falha em y_{0}=\pm 2.
Passo 6
Construção explícita que mostra não unicidade em y_{0}=2\) (argumento construtivo).
- Note que a equação é separável. Uma primitive conveniente é
\[\int \frac{dy}{\sqrt{y^{2}-4}}=x+C,
cuja antiderivada (válida para |y|>2) é
\ln\bigl|y+\sqrt{y^{2}-4}\bigr|=x+C.
A partir disso obtém-se soluções não constantes definidas em regiões onde |y|>2. Em particular, há soluções que tocam o nível y=2 tangencialmente: por exemplo, a função
satisfaz y(x_{0})=2\] e satisfaz a equação diferencial em toda parte: para \(x<x_{0} a solução constante satisfaz dy/dx=0=\sqrt{2^{2}-4}; para x>x_{0} tem-se dy/dx=2\operatorname{sinh}(x-x_{0}) e
Assim a função é C^{1} e satisfaz a EDO para todo x. Portanto, além da solução constante y\equiv 2 existe uma solução não constante que também passa por (x_{0},2): a unicidade falha.
Um argumento análogo funciona em y_{0}=-2: existem a solução constante y\equiv -2 e ramificações não constantes que tocam -2 tangencialmente, mostrando falta de unicidade.]
Passo 7
Resumo final e interpretação prática.
Para |y_{0}|>2: f e \partial f/\partial y são contínuas numa vizinhança de (x_{0},y_{0}). Pelo teorema de Picard–Lindelöf, existe uma única solução local passando por (x_{0},y_{0}). Portanto a unicidade está garantida.
Para |y_{0}|<2: f não é real, não há solução real passando por tais pontos.
Para y_{0}=\pm 2: f é definida e vale zero no ponto, mas \partial f/\partial y não é finita nem contínua ali; além disso há exemplos explícitos mostrando que a unicidade falha em y_{0}=\pm 2.
Resposta
Os pontos (x_{0},y_{0}) para os quais a unicidade da solução está garantida são exatamente aqueles com |y_{0}|>2.