Determine os pontos ( x_{0}, y_{0} ) para os quais podemos garantir que o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} \frac{d y}{d x}=f(x, y) \\\ y\left(x_{0}\right)=y_{0} \end{array}\right.
tem uma única solução.
Se f(x, y)=\sqrt{y^{2}-4}

Passo 1

O enunciado pede: determinar os pontos (x_{0},y_{0}) para os quais o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} \displaystyle \frac{dy}{dx}=f(x,y)\\[4pt] y(x_{0})=y_{0} \end{array}\right.
tem uma única solução, no caso em que
f(x,y)=\sqrt{y^{2}-4}.
Informações dadas e observações iniciais (extraídas do enunciado):
  • A função f depende apenas de y: f(x,y)=\sqrt{y^{2}-4}.
  • Para que f seja real é necessário \;y^{2}-4\ge 0\;, isto é \;|y|\ge 2.
  • A questão pede os pontos iniciais (x_{0},y_{0}) para os quais é possível garantir unicidade da solução.]

Passo 2

Lembrete do teorema que vamos usar (forma prática e intuitiva).
  • Teorema de existência e unicidade (Picard–Lindelöf), numa versão útil: se f(x,y) e \partial f/\partial y são contínuas numa vizinhança de (x_{0},y_{0}), então existe uma única solução local do problema de valor inicial passando por (x_{0},y_{0}).
    Explicando em palavras simples:
  • “Contínuas numa vizinhança” significa que existe um retângulo \{(x,y):|x-x_0|<a,\;|y-y_0|<b\} onde tanto f quanto \partial f/\partial y não têm saltos nem singularidades.
  • Quando essas condições valem, a solução local existe e é única; se a condição sobre \partial f/\partial y falha, a unicidade pode falhar (ou seja, pode haver várias soluções passando pelo mesmo ponto).

Passo 3

Verificar continuidade de f e calcular \partial f/\partial y.
  • Primeiro a definição/domínio: \;f(x,y)=\sqrt{y^{2}-4} está definida (como número real) somente para \;y^{2}-4\ge0, isto é \;|y|\ge2.
  • Calcular a derivada parcial em relação a y. Tome g(y)=\sqrt{y^{2}-4}=(y^{2}-4)^{1/2}. Usando a regra da cadeia:
\frac{d}{dy} (y^{2}-4)^{1/2}=\frac{1}{2}(y^{2}-4)^{-1/2}\cdot 2y=\frac{y}{\sqrt{y^{2}-4}}.
Portanto, para pontos onde |y|>2 (onde o denominador é estritamente positivo), vale
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{y}{\sqrt{y^{2}-4}},\qquad\text{para }|y|>2.

Passo 4

Análise da continuidade e aplicação do teorema.
  • A função f(x,y)=\sqrt{y^{2}-4} é contínua em todo o conjunto \{(x,y):|y|\ge2\}. Em particular, em pontos com |y|>2 ela é obviamente contínua.
  • A derivada \partial f/\partial y=\dfrac{y}{\sqrt{y^{2}-4}} existe e é contínua em qualquer região em que |y|>2. Porém, quando y\to\pm 2 o denominador tende a zero e \partial f/\partial y diverge: a derivada não é finita nem contínua em pontos com y=\pm 2.
  • Pelo teorema de Picard–Lindelöf, em qualquer ponto (x_{0},y_{0}) com |y_{0}|>2 existe uma vizinhança onde f e \partial f/\partial y são contínuas, logo existe e é única uma solução local passando por (x_{0},y_{0}).
  • Conclusão parcial: para todos os pontos (x_{0},y_{0}) com |y_{0}|>2 a unicidade (local) está garantida.

Passo 5

Verificação do que acontece em |y_{0}|<2 e em y_{0}=\pm 2.
  • Se |y_{0}|<2 então f(x_0,y_0)=\sqrt{y_{0}^{2}-4} não é real. Logo não existe solução real passando por um ponto com |y_{0}|<2. Portanto esses pontos nem sequer fazem sentido como condições iniciais reais.
  • Em y_{0}=\pm 2 temos f(x,y)=0 no ponto, então existe ao menos a solução constante y(x)\equiv 2 (respectivamente y(x)\equiv -2). Mas a condição sobre \partial f/\partial y falha ali (derivada explode), então o teorema de unicidade não se aplica — é necessário checar se de fato a unicidade pode falhar. Vamos construir explicitamente soluções alternativas para mostrar que a unicidade realmente falha em y_{0}=\pm 2.

Passo 6

Construção explícita que mostra não unicidade em y_{0}=2\) (argumento construtivo). - Note que a equação é separável. Uma primitive conveniente é \[\int \frac{dy}{\sqrt{y^{2}-4}}=x+C,
cuja antiderivada (válida para |y|>2) é
\ln\bigl|y+\sqrt{y^{2}-4}\bigr|=x+C.
  • A partir disso obtém-se soluções não constantes definidas em regiões onde |y|>2. Em particular, há soluções que tocam o nível y=2 tangencialmente: por exemplo, a função
y(x)=\begin{cases} 2,& x\le x_{0},\\[4pt] 2\operatorname{cosh}(x-x_{0}),& x\ge x_{0}, \end{cases}
satisfaz y(x_{0})=2\] e satisfaz a equação diferencial em toda parte: para \(x<x_{0} a solução constante satisfaz dy/dx=0=\sqrt{2^{2}-4}; para x>x_{0} tem-se dy/dx=2\operatorname{sinh}(x-x_{0}) e
\sqrt{y^{2}-4}=\sqrt{4\operatorname{cosh}^{2}(x-x_{0})-4}=2|\operatorname{sinh}(x-x_{0})|=2\operatorname{sinh}(x-x_{0})\quad\text{(para }x>x_{0}\text{)}.
Assim a função é C^{1} e satisfaz a EDO para todo x. Portanto, além da solução constante y\equiv 2 existe uma solução não constante que também passa por (x_{0},2): a unicidade falha.
  • Um argumento análogo funciona em y_{0}=-2: existem a solução constante y\equiv -2 e ramificações não constantes que tocam -2 tangencialmente, mostrando falta de unicidade.]

Passo 7

Resumo final e interpretação prática.
  • Para |y_{0}|>2: f e \partial f/\partial y são contínuas numa vizinhança de (x_{0},y_{0}). Pelo teorema de Picard–Lindelöf, existe uma única solução local passando por (x_{0},y_{0}). Portanto a unicidade está garantida.
  • Para |y_{0}|<2: f não é real, não há solução real passando por tais pontos.
  • Para y_{0}=\pm 2: f é definida e vale zero no ponto, mas \partial f/\partial y não é finita nem contínua ali; além disso há exemplos explícitos mostrando que a unicidade falha em y_{0}=\pm 2.

Resposta

Os pontos (x_{0},y_{0}) para os quais a unicidade da solução está garantida são exatamente aqueles com |y_{0}|>2.

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