Resolva a equação diferencial
\frac{d y}{d t}+\frac{2}{t} y=t

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d y}{d t}+\frac{2}{t} y=t
e pede a sua solução geral. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação é escrita em termos de t e y(t).
  • O coeficiente \dfrac{2}{t} é singular em t=0, portanto devemos considerar que t\neq0.
  • Não foi dada condição inicial, logo buscaremos a solução geral com uma constante arbitrária de integração.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
\frac{d y}{d t}+P(t)\,y=Q(t),
onde aqui
P(t)=\frac{2}{t},\qquad Q(t)=t.
Explicando: essa forma padrão é útil porque existe uma técnica direta (fator integrante) que transforma a equação num lado que é a derivada de um produto; vamos usar isso.

Passo 3

Definir o fator integrante \mu(t). A fórmula do fator integrante para a equação y'+P(t)y=Q(t) é
\mu(t)=\exp\!\left(\int P(t)\,dt\right).
Aqui P(t)=\dfrac{2}{t}, então calculamos a integral:
\int P(t)\,dt=\int \frac{2}{t}\,dt=2\int\frac{1}{t}\,dt=2\ln|t|.
Portanto
\mu(t)=\exp\!\big(2\ln|t|\big).
Usando a identidade \exp(\ln a)=a e |t|^2=t^2, obtemos
\mu(t)=t^2,
válido para t\neq0. Observação didática: embora tenhamos passado por |t|, como aparece ao quadrado podemos escrever \mu(t)=t^2 sem perda de generalidade (o sinal se perde ao quadrar).

Passo 4

Multiplicar toda a equação original pelo fator integrante \mu(t)=t^2. Fazendo isso:
t^2\frac{d y}{d t}+t^2\cdot\frac{2}{t}y=t^2\cdot t.
Simplificar cada termo:
t^2\frac{d y}{d t}+2t y=t^3.

Passo 5

Reconhecer o lado esquerdo como a derivada do produto t^2 y. Para ver por que, aplicar a regra do produto:
\frac{d}{dt}\big(t^2 y\big)=t^2\frac{d y}{d t}+2t y.
Portanto a equação multiplicada pode ser escrita de forma compacta como
\frac{d}{dt}\big(t^2 y\big)=t^3.
Explicando o porquê: o fator integrante foi escolhido exatamente para tornar o lado esquerdo numa derivada exata de produto, o que facilita a integração.

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a t:
\int \frac{d}{dt}\big(t^2 y\big)\,dt=\int t^3\,dt.
A integral do lado esquerdo elimina a derivada, ficando t^2 y. A integral do lado direito é uma potência simples:
t^2 y=\frac{t^4}{4}+C,
onde C é a constante de integração (número real arbitrário).

Passo 7

Resolver para y isolando-o:
y=\frac{1}{t^2}\left(\frac{t^4}{4}+C\right)=\frac{1}{4}t^2+C\,t^{-2}.
Explicando os passos algébricos: dividiu-se cada termo por t^2. O termo \dfrac{t^4}{4} dividido por t^2 \dfrac{1}{4}t^2. A constante C dividida por t^2 fica C t^{-2}.

Passo 8

Verificação rápida (útil para a prova): diferenciar a solução encontrada e substituir na equação original para conferir que satisfaz. (Breve cálculo mental)
  • y=\dfrac{1}{4}t^2+C t^{-2}.
  • \dfrac{dy}{dt}=\dfrac{1}{2}t-2C t^{-3}.
    Substituindo em \dfrac{dy}{dt}+\dfrac{2}{t}y:
\left(\frac{1}{2}t-2C t^{-3}\right)+\frac{2}{t}\left(\frac{1}{4}t^2+C t^{-2}\right) =\frac{1}{2}t-2C t^{-3}+\frac{1}{2}t+2C t^{-3}=t.
Os termos com C cancelam, restando t, que é o lado direito. OK!

Passo 9

Conclusão e comentários finais: a solução geral é
y(t)=\frac{1}{4}t^2+C\,t^{-2},
com C constante arbitrária e definida para t\neq0. Isso significa que na prova — sem condição inicial — essa é a resposta que deve ser apresentada. Força aí, tá indo bem!

Resposta

y(t)=\dfrac{1}{4}t^2+C\,t^{-2}

Exercícios relacionados