Resolva a equação diferencial
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a sua solução geral. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação é escrita em termos de
e . - O coeficiente
é singular em , portanto devemos considerar que . - Não foi dada condição inicial, logo buscaremos a solução geral com uma constante arbitrária de integração.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
onde aqui
Explicando: essa forma padrão é útil porque existe uma técnica direta (fator integrante) que transforma a equação num lado que é a derivada de um produto; vamos usar isso.
Passo 3
Definir o fator integrante
. A fórmula do fator integrante para a equação
é
Aqui
, então calculamos a integral:
Portanto
Usando a identidade
e
, obtemos
válido para
. Observação didática: embora tenhamos passado por
, como aparece ao quadrado podemos escrever
sem perda de generalidade (o sinal se perde ao quadrar).
Passo 4
Multiplicar toda a equação original pelo fator integrante
. Fazendo isso:
Simplificar cada termo:
Passo 5
Reconhecer o lado esquerdo como a derivada do produto
. Para ver por que, aplicar a regra do produto:
Portanto a equação multiplicada pode ser escrita de forma compacta como
Explicando o porquê: o fator integrante foi escolhido exatamente para tornar o lado esquerdo numa derivada exata de produto, o que facilita a integração.
Passo 6
Integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo elimina a derivada, ficando
. A integral do lado direito é uma potência simples:
onde
é a constante de integração (número real arbitrário).
Passo 7
Resolver para
isolando-o:
Explicando os passos algébricos: dividiu-se cada termo por
. O termo
dividido por
dá
. A constante
dividida por
fica
.
Passo 8
Verificação rápida (útil para a prova): diferenciar a solução encontrada e substituir na equação original para conferir que satisfaz. (Breve cálculo mental)
-
. -
.
Substituindo em:
Os termos com
cancelam, restando
, que é o lado direito. OK!
Passo 9
Conclusão e comentários finais: a solução geral é
com
constante arbitrária e definida para
. Isso significa que na prova — sem condição inicial — essa é a resposta que deve ser apresentada. Força aí, tá indo bem!