Determine a posição relativa entre:
a reta s:\left\{\begin{array}{l}y=2 x-3 \\\ z=-x+4\end{array}\right. e o plano 3 x-2 y-z-2=0.
Passo 1
O enunciado dá:
A reta s\) definida pelo sistema
\[\begin{cases} y=2x-3\\[4pt] z=-x+4 \end{cases}
O plano dado pela equação (;3x-2y-z-2=0;].
O que se pede:
Determinar a posição relativa entre a reta s e o plano \;3x-2y-z-2=0\; — ou seja, verificar se a reta intersecta o plano em um ponto, se é paralela ao plano sem interseção, ou se está contida no plano.]
Passo 2
Vamos escrever a reta s em forma paramétrica e vetorial, que é uma forma prática para fazer testes com o plano. Uma escolha simples é tomar x como parâmetro t. Assim:
Conceito importante (explicando devagar): o vetor normal \vec{n} é perpendicular a todo vetor que pertença ao plano. Se o vetor direção \vec{v} da reta for perpendicular a \vec{n} (ou seja, se \vec{v}\cdot\vec{n}=0), então a reta é paralela ao plano (pode estar nele ou estar deslocada). Se \vec{v}\cdot\vec{n}\neq 0, a reta cruza o plano exatamente em um ponto (porque a reta tem componente na direção do normal, atravessando o plano).
Passo 4
Calculemos o produto escalar \vec{v}\cdot\vec{n} para decidir entre “paralela/contida” e “interseção única”:
Como \vec{v}\cdot\vec{n}=0, concluímos que a reta é paralela ao plano (ou seja, sua direção é paralela ao plano). Ainda precisamos decidir se está contida no plano ou é paralela sem interseção.
Passo 5
Para saber se a reta está contida no plano, basta verificar se um ponto da reta satisfaz a equação do plano. Pegamos o ponto da reta quando t=0: \;P=(0,-3,4)\;. Substituímos na equação do plano:
3\cdot 0 -2\cdot(-3) -4 -2 = 0 +6 -4 -2 =0.
O resultado é 0, portanto o ponto P satisfaz a equação do plano. Como a direção da reta é paralela ao plano e um ponto da reta pertence ao plano, toda a reta fica dentro do plano.
Passo 6
Conclusão lógica: a reta é paralela ao plano e intercepta-o em todos os seus pontos — isto é, a reta está contida no plano.