Calcule os valores de m e n para que a reta r:\left\{\begin{array}{l}x=t+3 \\\ y=2 t-3 \\\ z=-t+4\end{array}\right. esteja contida no plano \pi : n x+m y-z-5=0.
Passo 1
O enunciado dá a reta r\) em forma paramétrica
\[\begin{cases} x=t+3\\[4pt] y=2t-3\\[4pt] z=-t+4 \end{cases}
e o plano \pi\] com equação
\[n x + m y - z - 5 = 0,\]
onde \(m e n são constantes desconhecidas que devemos determinar. A pergunta é: calcular os valores de m e n para que a reta r esteja contida no plano \pi.
Informações dadas que vamos usar:
A reta r está dada por um parâmetro t.
O plano \pi tem coeficientes n, m e -1 nas variáveis x,y,z respectivamente.
Precisamos encontrar m e n tais que toda point da reta satisfaça a equação do plano.]
Passo 2
O que significa “a reta r estar contida no plano \pi”? Vou explicar de forma bem direta e didática:
Significa que todo ponto da reta r também é ponto do plano \pi. Ou seja, se você pega as coordenadas (x,y,z) de qualquer t na reta e substitui na equação do plano, a equação tem que ficar verdadeira para todo t.
Equivalentemente (uma forma muito útil): a direção da reta deve ser ortogonal (perpendicular) ao vetor normal do plano, e basta que um ponto qualquer da reta satisfaça a equação do plano. Eu vou usar essa equivalência porque dá duas equações lineares simples em m e n.
Vou explicar os conceitos usados:
Vetor normal do plano: se a equação do plano é A x + B y + C z + D = 0, então o vetor normal é (A,B,C). Ele define a direção perpendicular ao plano.
Vetor direção da reta: na forma paramétrica x=x_0 + a t, y=y_0 + b t, z=z_0 + c t, o vetor direção é (a,b,c).
Produto escalar (dot product): para vetores u=(u_1,u_2,u_3) e v=(v_1,v_2,v_3), o produto escalar é u\cdot v = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3. Dois vetores são ortogonais quando seu produto escalar é zero.
Passo 3
Vamos extrair o vetor normal do plano \pi. A equação é
n x + m y - z - 5 = 0,
logo o vetor normal é
N=(n,\,m,\,-1).
Explicação: peguei os coeficientes de x, y e z na equação do plano.
Passo 4
Agora extraímos o vetor direção da reta r. Da forma paramétrica
x=t+3,\quad y=2t-3,\quad z=-t+4,
os coeficientes de t dão o vetor direção
v=(1,\,2,\,-1).
Explicação: para pequenas variações de t, x aumenta em 1 unidade por unidade de t, y aumenta em 2, e z diminui em 1 — por isso os componentes do vetor direção.
Passo 5
Impondo a condição de ortogonalidade entre v e N: o produto escalar deve ser zero.
v\cdot N = 0.
Calculando:
(1,2,-1)\cdot(n,m,-1) = 1\cdot n + 2\cdot m + (-1)\cdot(-1).
Portanto
n + 2m + 1 = 0.
Esta é a primeira equação linear que relaciona n e m.
Passo 6
Agora usamos a segunda condição: algum ponto da reta deve satisfazer a equação do plano. Escolhemos o ponto correspondente a t=0 (porque é simples). Para t=0 temos
P=(x,y,z)=(3,\,-3,\,4).
Explicação: substituí t=0 nas expressões paramétricas.
Passo 7
Substituímos P na equação do plano \pi:
n\cdot 3 + m\cdot(-3) - 4 - 5 = 0.
Isso dá
3n - 3m - 9 = 0.
Dividindo tudo por 3 para simplificar:
n - m - 3 = 0,
ou
n - m = 3.
Esta é a segunda equação linear entre n e m.
Passo 8
Agora resolvemos o sistema linear formado por
\begin{cases} n + 2m = -1,\\[4pt] n - m = 3. \end{cases}
Vou eliminar n. Subtraindo a segunda equação da primeira:
(n+2m) - (n - m) = -1 - 3.
No lado esquerdo n cancela e sobra 3m. No lado direito fica -4. Então
3m = -4 \quad\Longrightarrow\quad m = -\frac{4}{3}.]
Passo 9
Com m em mãos, encontramos n pela segunda equação n - m = 3:
n = 3 + m = 3 + \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{9-4}{3} = \frac{5}{3}.
Passo 10
Fazemos uma checagem rápida (opcional, mas é bom praticar): podemos substituir x=t+3, y=2t-3, z=-t+4 na equação do plano e verificar que, com os valores encontrados, a expressão é identicamente zero para todo t. Substituindo:
n(t+3)+m(2t-3)-(-t+4)-5.
Com n=\frac{5}{3} e m=-\frac{4}{3} essa soma dá zero para o coeficiente de t e para a constante, confirmando que toda a reta está no plano (os cálculos são diretos e batem com as equações que já resolvemos).