Determine a posição relativa entre:
a reta r: \left\{\begin{array}{l}x-1=\frac{y+1}{-2} \\\ z=0\end{array}\right. e o plano 2 x+y-3 z-1=0.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a posição relativa entre a reta r\) e o plano dado. Informações fornecidas: \[\text{reta } r:\begin{cases} x-1=\dfrac{y+1}{-2},\\[4pt] z=0, \end{cases}
\text{plano: }2x+y-3z-1=0.
Ou seja: temos a expressão que define a reta (r] (em forma simétrica/relacionada) e a equação cartesiana do plano. A pergunta é: a reta intersecta o plano, é paralela ao plano ou está contida no plano?]

Passo 2

Vamos escrever a reta r\) em forma paramétrica (isso facilita a manipulação). Para isso introduzo um parâmetro \(t\) e igualo \(x-1\) e \(\dfrac{y+1}{-2}\) a \(t\). Assim: \[x-1=t\quad\Rightarrow\quad x=1+t,
\dfrac{y+1}{-2}=t\quad\Rightarrow\quad y+1=-2t\quad\Rightarrow\quad y=-1-2t,
e já temos z=0.
Portanto a forma paramétrica da reta é
\begin{cases} x=1+t,\\[4pt] y=-1-2t,\\[4pt] z=0. \end{cases}
Dessa forma reconhecemos um ponto da reta e o vetor direção:
  • ponto P_0=(1,-1,0)\] (obtido tomando \(t=0),
  • vetor direção \vec{v}=(1,-2,0) (coeficientes de t em x,y,z).
Explicação curta (por que isso funciona): escrever a reta em forma paramétrica consiste em ter um ponto por onde ela passa e um vetor que indica a direção; qualquer ponto da reta é P_0+t\vec{v}.]

Passo 3

Agora extraio o vetor normal ao plano a partir da equação do plano. A equação geral do plano
2x+y-3z-1=0
tem coeficientes que formam o vetor normal
\vec{n}=(2,1,-3).
Lembrete didático: o vetor normal \vec{n} é ortogonal a todo vetor que esteja contido no plano. Então, se o vetor direção \vec{v} da reta for ortogonal a \vec{n} (produto escalar zero), isso significa que \vec{v} está paralelo ao plano.

Passo 4

Calculo o produto escalar entre \vec{n} e \vec{v}:
\vec{n}\cdot\vec{v}=(2,1,-3)\cdot(1,-2,0)=2\cdot1+1\cdot(-2)+(-3)\cdot0.
Faço as multiplicações:
2\cdot1=2,\qquad 1\cdot(-2)=-2,\qquad (-3)\cdot0=0,
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\vec{n}\cdot\vec{v}=2-2+0=0.
Interpretação: como \vec{n}\cdot\vec{v}=0, o vetor direção \vec{v} é ortogonal ao vetor normal \vec{n}. Portanto \vec{v} está contido no plano (ou dito de outra forma, a reta é paralela ao plano).

Passo 5

Quando a reta é paralela ao plano existem duas possibilidades: (i) a reta está inteiramente contida no plano; ou (ii) a reta é paralela e distinta (não intersecta o plano). Para distinguir os casos, basta verificar se um ponto da reta pertence ao plano. Se um ponto da reta satisfaz a equação do plano, então toda a reta está no plano (pois direção é paralela ao plano).

Passo 6

Verifico se o ponto P_0=(1,-1,0) (ponto da reta) satisfaz a equação do plano. Substituo em 2x+y-3z-1:
2\cdot 1 + (-1) -3\cdot 0 -1 = 2-1-0-1.
Calculo os termos:
2-1-1=0.
O resultado é 0, ou seja a equação do plano é satisfeita por P_0. Conclusão: P_0 pertence ao plano.

Passo 7

Como a reta tem vetor direção \vec{v} paralelo ao plano ( \vec{n}\cdot\vec{v}=0) e já encontramos que um ponto da reta pertence ao plano, isso implica que todos os pontos da reta pertencem ao plano. Em termos geométricos: a reta r está contida no plano.
Explicação final curta: para uma reta estar contida num plano é necessário e suficiente que o seu vetor direção seja paralelo ao plano (produto escalar com normal zero) e que um ponto da reta satisfaça a equação do plano.

Resposta

A reta r está contida no plano 2x+y-3z-1=0.

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