Determine a posição relativa das retas r_{1} e r_{2}.
r_{1}: x=2+t, y=2+3 t, z=3+t r_{2}: x=2+s, y=3+4 s, z=4+2 s

Passo 1

O enunciado dá duas retas em forma paramétrica no espaço e pede a posição relativa entre elas. O conteúdo aqui é geometria analítica espacial: vamos identificar se as retas são paralelas, coincidentes, concorrentes (secantes) ou reversas (skew). Para isso, precisamos dos vetores diretores e verificar se existe interseção.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores de cada reta:
Para \,r_{1}:\,x=2+t,\;y=2+3t,\;z=3+t o vetor diretor é
v_{1} = (1,\,3,\,1).
Para \,r_{2}:\,x=2+s,\;y=3+4s,\;z=4+2s o vetor diretor é
v_{2} = (1,\,4,\,2).
Verificamos se são múltiplos: se existisse \lambda tal que v_{2}=\lambda v_{1}, então da primeira componente teríamos \lambda=1, mas da segunda viria 4=1\cdot3, o que é falso. Logo, os vetores não são paralelos.

Passo 3

Como não são paralelos, ou são secantes ou reversas. Testamos interseção igualando as coordenadas:
\begin{cases} 2 + t = 2 + s,\\\\ 2 + 3t = 3 + 4s,\\\\ 3 + t = 4 + 2s. \end{cases}
Da primeira equação vem t=s. Substituindo em 2+3s = 3+4s -s=1, então s=-1 e t=-1. Na terceira equação verifica-se 3+(-1)=4+2(-1)\iff 2=2, consistente. Portanto há interseção.

Passo 4

O valor s=-1 (e t=-1) fornece o ponto de interseção em qualquer uma das retas. Por exemplo em r_{1}:
P = (2 + (-1),\;2 +3(-1),\;3 +(-1)) = (1,\,-1,\,2).

Resposta

As retas r_{1} e r_{2} são secantes e se cruzam no ponto (1,-1,2).

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