Determine a posição relativa das retas r_{1} e r_{2}.
r_{1}: x=2-t, y=3+2 t, z=1+t r_{2}: x=5-2 s, y=2+4 s, z=1+2 s

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas no espaço em forma paramétrica: r_{1}: x=2-t,\;y=3+2t,\;z=1+t e r_{2}: x=5-2s,\;y=2+4s,\;z=1+2s.
Queremos saber se elas se intersectam, se são paralelas (coincidentes ou não) ou se são reversas (skew).

Passo 2

Identificamos os vetores diretores de cada reta a partir dos coeficientes dos parâmetros:
\vec v_{1}=(-1,2,1), \qquad \vec v_{2}=(-2,4,2).

Passo 3

Verificamos se \vec v_{1} e \vec v_{2} são colineares. Note que
\vec v_{2}=2\,\vec v_{1},
logo as direções são proporcionais e as retas são paralelas ou coincidentes.

Passo 4

Para decidir se coincidem, pegamos um ponto de r_{2}, por exemplo em s=0:
P_{2}=(5,2,1).
Verificamos se ele pertence a r_{1}. Da equação x=2-t=5 segue t=-3.
Para esse t, em r_{1} teríamos
y=3+2(-3)=-3,\quad z=1+(-3)=-2,
que diferem de (2,1). Assim, P_{2}\notin r_{1} e as retas não coincidem.

Resposta

As retas r_{1} e r_{2} são paralelas e distintas.

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