O enunciado dá duas retas em forma paramétrica no espaço e pede a posição relativa entre elas. O conteúdo aqui é geometria analítica espacial: vamos identificar se as retas são paralelas, coincidentes, concorrentes (secantes) ou reversas (skew). Para isso, precisamos dos vetores diretores e verificar se existe interseção.
Passo 2
Extraímos os vetores diretores de cada reta:
Para \,r_{1}:\,x=2+t,\;y=2+3t,\;z=3+t o vetor diretor é
v_{1} = (1,\,3,\,1).
Para \,r_{2}:\,x=2+s,\;y=3+4s,\;z=4+2s o vetor diretor é
v_{2} = (1,\,4,\,2).
Verificamos se são múltiplos: se existisse \lambda tal que v_{2}=\lambda v_{1}, então da primeira componente teríamos \lambda=1, mas da segunda viria 4=1\cdot3, o que é falso. Logo, os vetores não são paralelos.
Passo 3
Como não são paralelos, ou são secantes ou reversas. Testamos interseção igualando as coordenadas:
Da primeira equação vem t=s. Substituindo em 2+3s = 3+4s dá -s=1, então s=-1 e t=-1. Na terceira equação verifica-se 3+(-1)=4+2(-1)\iff 2=2, consistente. Portanto há interseção.
Passo 4
O valor s=-1 (e t=-1) fornece o ponto de interseção em qualquer uma das retas. Por exemplo em r_{1}:
P = (2 + (-1),\;2 +3(-1),\;3 +(-1)) = (1,\,-1,\,2).
Resposta
As retas r_{1} e r_{2} são secantes e se cruzam no ponto (1,-1,2).